Question

При каком значении а уравнение x^3-13^2+ax-64=0 имеет три различных действительны корня образующих геометрическую прогрессию ​

Answer 1

Ответ:

52

Объяснение:

По теореме Виета для кубических многочленов:

$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=13\\x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=a\\x_1x_2x_3=64\end{cases}$

Пусть x₁ = b, тогда x₂ = bq, x₃ = bq². Рассмотрим первое и третье уравнения:

$\begin{cases}b+bq+bq^2=13\\b^3q^3=64\end{cases}\begin{cases}b(1+q+q^2)=13\\bq=4\end{cases}$

Теперь рассмотрим второе уравнение:

$b^2q+b^2q^3+b^2q^2=bq\cdot b(1+q+q^2)=4\cdot 13=52=a$

Проверим данное значение a:

$x^3-13x^2+52x-64=0\\(x-4)(x^2-9x+16)=0\\x=\dfrac{9-\sqrt{17}}{2},\ 4,\ \dfrac{9+\sqrt{17}}{2}$

Действительно, $x_2=\dfrac{9+\sqrt{17}}{8}x_1,\ x_3=\dfrac{9+\sqrt{17}}{8}x_2$

Answer 2

Ответ:

a=52

Объяснение:

По условию корни образуют геометрическую прогрессию. Значит мы можем их записать как, [b/q;b;b*q]

По теореме Виета произведение корней равно свободному члену с обратным знаком. => b^3=64=> b=4

Коэффициент a найдем из условия, что значение многочлена при x=4 равно 0.

64-13*16+4a-64=0

a=52

Answer 3

Для того чтобы уравнение $x^3 + ax^2 - 13x - 64 = 0$ имело три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию, нужно, чтобы средний член этой прогрессии (геометрическое среднее) был равен кубическому корню из произведения крайних членов (первого и последнего членов) этой прогрессии.

Пусть $r$ - это знаменатель геометрической прогрессии. Тогда первый член будет $a_1 = r^2$ и последний член $a_3 = r^4$, а средний член $a_2 = r^3$.

Мы знаем, что для геометрической прогрессии выполняется $a_2^2 = a_1 \cdot a_3$:

$(r^3)^2 = (r^2) \cdot (r^4)$ \ $r^6 = r^6$.

Это верно для любого $r$, значит, любое значение $r$ подходит.

Теперь, чтобы определить значение $a$, подставим в уравнение $x^3 + ax^2 - 13x - 64 = 0$ один из корней прогрессии. Пусть это будет $x = r^2$.

Подставим: $(r^2)^3 + a(r^2)^2 - 13(r^2) - 64 = 0$ \ $r^6 + ar^4 - 13r^2 - 64 = 0$.

Так как $r^6 = r^6$, то уравнение сводится к: $ar^4 - 13r^2 - 64 = 0$.

Итак, любое значение $r$ подходит, и значение $a$ будет определяться уравнением $ar^4 - 13r^2 - 64 = 0$.

Если у вас есть конкретные ограничения или условия на $a$ или геометрическую прогрессию, пожалуйста, уточните их, чтобы я мог предоставить более конкретный ответ.