Question

При каком значении a уравнение x^3-9x^2+ax-8=0 имеет три разных значения корня, образующих геометрическую прогрессию?

Answer 1

Исходя из условия $x_1=b_1$, $x_2=b_1q$, $x_3=b_1q^2$.

По теореме Виета кубического уравнения:

$\begin{cases} & \text{ } b_1+b_1q+b_1q^2=9\ \\ & \text{ } b_1^2q+b_1^2q^2+b_1^2q^3=a \\ & \text{ } b_1^3q^3=8\end{cases}\enspace\Rightarrow \begin{cases} & \text{ } b_1(1+q+q^2)=9 \\ & \text{ } b_1^2q(1+q+q^2)=a \\ & \text{ } b_1q=2 \end{cases}$

$b_1q\cdot b_1(1+q+q^2)=a$

$2\cdot9=a$

$a=18$

Ответ: при a = 18.

Answer 2

Чтобы уравнение $x^3 - 9x^2 + ax - 8 = 0$ имело три разных значения корня, образующих геометрическую прогрессию, сначала мы должны найти эти корни, а затем найти значение $a$, при котором это условие выполняется.

Давайте сначала найдем корни уравнения. Мы можем воспользоваться методом Виета для кубического уравнения. У нас есть следующие коэффициенты:

$$\begin{align*} a_0 &= 1 \\ a_1 &= -9 \\ a_2 &= a \\ a_3 &= -8 \end{align*}$$

Согласно методу Виета, сумма корней этого уравнения равна нулю:

$$x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-a_2}{a_1} = \frac{-a}{-9} = \frac{a}{9}$$

Также, произведение корней равно коэффициенту $a_0$:

$$x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = \frac{a_3}{a_0} = \frac{-8}{1} = -8$$

Для геометрической прогрессии с тремя разными корнями сумма корней равна нулю, и их произведение равно коэффициенту при $x^3$. Таким образом, у нас есть два уравнения:

$$\begin{align*} x_1 + x_2 + x_3 &= \frac{a}{9} = 0 \\ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 &= -8 \end{align*}$$

Из первого уравнения следует, что $a = 0$, а из второго уравнения следует, что $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -8$.

Теперь у нас есть значение $a = 0$, при котором уравнение имеет три разных корня, образующих геометрическую прогрессию, и их произведение равно -8.