Question

Вычислить удельное сопротивление металлического проводника, имеющего плотность 970 кг/м3 и молярную массу 0,023 кг/моль, если известно, что средняя скорость дрейфа электронов в электрическом поле напряженностью 0,1 В/м составляет 5*10-4 м/с. Можно полагать, что на каждый атом кристаллической решетки приходится один электрон.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Дано:

ρm = 970 кг/м³ - плотность металла

M = 0,023 кг/моль

<v> = 5·10⁻⁴ м/с

E = 0,1 В/м

e = 1,6·10⁻¹⁹ Кл

_______________

ρ - ?

1)

Запишем закон Ома в виде:

<v> = E / (ρ·e·n)

Отсюда удельное сопротивление:

ρ = E / (<v>·e·n)   (1)

2)

Концентрация:

n = N / V

Из соотношения:

N / Nₐ = m / M   (здесь Nₐ - чисдо Авогадро)

Тогда:

N =m·Nₐ / M

n =  N / V = m·Nₐ / (V·M) = ρм·Nₐ / M      (поскольку ρv = m / V)

n =  ρм·Nₐ / M = 970·6,02·10²³ / 0,023 ≈ 2,54·10²⁸   1/м³

3)

Подставляем данные в (1)

ρ = E / (<v>·e·n) = 0,1 / (5·10⁻⁴·1,6·10⁻¹⁹·2,54·10²⁸) ≈ 4,9·10⁻⁸  Ом·м

Answer 2

Удельное сопротивление металла можно вычислить по следующей формуле:

$\rho = \frac{m}{n \cdot e^2 \cdot \tau}$

где:

• $\rho$ - удельное сопротивление
• $m$ - масса электрона
• $n$ - концентрация электронов (количество электронов на единицу объема)
• $e$ - заряд элементарного электрона
• $\tau$ - время релаксации

Первым шагом определим $n$, концентрацию электронов. Для этого воспользуемся данными о плотности и молярной массе металла:

$n = \frac{\text{Число атомов}}{\text{Объем}}$

$\text{Число атомов} = \frac{\text{Плотность}}{\text{Молярная масса}}$

$n = \frac{970 \, \text{кг/м}^3}{0.023 \, \text{кг/моль}}$

$n = 42173.91 \, \text{моль/м}^3$

Теперь выразим удельное сопротивление через $n$ и другие известные значения:

$\rho = \frac{m}{n \cdot e^2 \cdot \tau}$

$\rho = \frac{9.10938356 \times 10^{-31} \, \text{кг}}{42173.91 \, \text{моль/м}^3 \cdot (1.602176634 \times 10^{-19} \, \text{Кл})^2 \cdot \tau}$

Мы знаем, что средняя скорость дрейфа электронов равна $v_d = 5 \times 10^{-4} \, \text{м/с}$, и эта скорость связана с временем релаксации следующим образом:

$v_d = \frac{e \cdot E}{m} \cdot \tau$

где $E$ - напряженность электрического поля. Решив это уравнение относительно $\tau$, получим:

$\tau = \frac{m \cdot v_d}{e \cdot E}$

Подставим это выражение в формулу для удельного сопротивления:

$\rho = \frac{9.10938356 \times 10^{-31} \, \text{кг}}{42173.91 \, \text{моль/м}^3 \cdot (1.602176634 \times 10^{-19} \, \text{Кл})^2 \cdot \frac{9.10938356 \times 10^{-31} \, \text{кг} \cdot 5 \times 10^{-4} \, \text{м/с}}{1.602176634 \times 10^{-19} \, \text{Кл} \cdot 0.1 \, \text{В/м}}}$

После вычислений получим:

$\rho = 2.81 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{м}$

Таким образом, удельное сопротивление металлического проводника составляет $2.81 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{м}$.