Question

Определите период колебаний полярной молекулы в однородном электрическом поле с напряженностью Е . Полярную молекулу можно представить в виде гантельки длиной l , на концах которой находятся две материальные точки массами m , несущие на себе заряды Q и – Q . Гравитационными силами пренебречь.​

Answer 1

Ответ:

$2\pi \sqrt{\frac{ml}{2QE} }$

Объяснение:

Рассмотрим малые крутильные колебания молекулы. Запишем дифференциальное уравнение гармонических колебаний

$J\frac{d^2\phi}{dt^2}=M$ где

J - момент инерции молекулы

φ - угол поворота молекулы

M - возвращающий момент

t - время

Распишем более подробно

$J=2mR^2=\frac{ml^2}{2}$

$M=-QElsin\phi \approx -QEl\phi$ (так как угол мал)

Дифференциальное уравнение в каноническом виде

$\frac{d^2\phi}{dt^2}+\frac{2QE}{ml}\phi=0$

Но множитель перед φ есть не что иное как квадрат собственной частоты системы

$\omega_0=\sqrt{\frac{2QE}{ml} }$

Тогда период

$T=\frac{2\pi }{\omega_0} =2\pi \sqrt{\frac{ml}{2QE} }$.

Answer 2

Для определения периода колебаний полярной молекулы в однородном электрическом поле можно использовать формулу периода математического маятника:

T = 2π√(I / k),

где T - период колебаний, I - момент инерции системы относительно оси вращения, k - коэффициент, характеризующий силу, восстанавливающую момент, и связанный с жесткостью системы.

Для гантельки с двумя материальными точками массами m на концах, момент инерции можно выразить как:

I = 2m(l/2)² = ml²/2.

Сила, восстанавливающая момент, возникает из-за взаимодействия зарядов Q и -Q в электрическом поле. Для точечного заряда q в однородном электрическом поле с напряженностью E, сила равна F = qE. Таким образом, сила, действующая на каждую из точек массы, равна:

F = Q * E и F' = -Q * E.

Так как сила обратно пропорциональна расстоянию между зарядами и прямо пропорциональна разности их зарядов, то восстанавливающий момент можно выразить как:

k = (Q * E) * (l/2) - (-Q * E) * (l/2) = Q * E * l.

Подставив значения момента инерции I и коэффициента k в формулу для периода колебаний T, получим:

T = 2π√(ml²/2 / QEl).

Таким образом, период колебаний полярной молекулы в однородном электрическом поле с напряженностью E равен 2π√(ml²/2 / QEl).