Question

Материальная точка участвует во взаимно перпендекулярных колебаниях: x= 4cos(πt+π/6)см и y=3sin(πt+π/3)см. Найдите уравнение траектории материальной точки.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \frac{4}{27}y^2+\frac{1}{12}x^2-\frac{xy}{9}-1=0$

Объяснение:

Раскроем косинус и синус суммы углов:

$\displaystyle \frac{x}{4}=\frac{\sqrt{3} }{2}cos\pi t-\frac{1}{2}sin\pi t$

$\displaystyle \frac{y}{3}=\frac{1}{2}sin\pi t+\frac{\sqrt{3} }{2}cos\pi t$

Сложим почленно эти уравнения:

$\displaystyle \frac{x}{4}+\frac{y}{3}=\sqrt{3}cos\pi t$

$\displaystyle cos \pi t=\frac{x}{4\sqrt{3} }+\frac{y}{3\sqrt{3} }$

Из основного тригонометрического тождества:

$\displaystyle sin\pi t=\sqrt{1-\left( \frac{x}{4\sqrt{3} } +\frac{y}{3\sqrt{3} } \right)^2}=\sqrt{1-\frac{x^2}{48}-\frac{xy}{18}-\frac{y^2}{27} }$

Подставляем все во второе уравнение:

$\displaystyle \frac{y}{3}=\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{x^2}{48}-\frac{xy}{18}-\frac{y^2}{27} }+\frac{x}{8}+\frac{y}{6}$

$\displaystyle \frac{y}{3}-\frac{x}{4}=\sqrt{1-\frac{x^2}{48}-\frac{xy}{18}-\frac{y^2}{27} }$

Возводим обе части в квадрат, раскрываем сумму квадратов и приводим подобные:

$\displaystyle \frac{y^2}{9}-\frac{xy}{6}+\frac{x^2}{16}=1-\frac{x^2}{48}-\frac{xy}{18}-\frac{y^2}{27}$

$\displaystyle \frac{4}{27}y^2+\frac{1}{12}x^2-\frac{xy}{9}-1=0$, таким образом, траектория точки представляет собой наклоненный эллипс.

Answer 2

Для найти уравнение траектории материальной точки, нужно выразить координаты x и y через некоторую переменную (обычно обозначаемую как t, это время или параметр времени) и затем связать их между собой.

Дано: x = 4cos(πt + π/6) см y = 3sin(πt + π/3) см

Уравнение траектории можно найти, выразив t из одного уравнения и подставив его в другое. Давайте начнем с уравнения для x:

x = 4cos(πt + π/6)

Для определения cos(πt + π/6) равного числу x/4, возьмем обратный косинус (арккосинус):

πt + π/6 = arccos(x/4)

Теперь выразим t:

πt = arccos(x/4) - π/6

t = (arccos(x/4) - π/6) / π

Теперь подставим выражение для t в уравнение для y:

y = 3sin(πt + π/3)

y = 3sin(π * ((arccos(x/4) - π/6) / π) + π/3)

y = 3sin(arccos(x/4) - π/6 + π/3)

Теперь используем тригонометрическое тождество sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b):

y = 3(sin(arccos(x/4))cos(π/3) + cos(arccos(x/4))sin(π/3))

y = 3(√(1 - (x/4)^2) * 1/2 + (x/4) * √3/2)

y = (3/2)√(1 - (x/4)^2) + (3√3/8)x

Таким образом, уравнение траектории материальной точки будет:

y = (3/2)√(1 - (x/4)^2) + (3√3/8)x