Question

К источнику переменного тока последовательно подключены активноесопротивление, катушка индуктивностии конденсатор. Напряжение наактивном сопротивлении 2 V, а наконденсаторе 6 V. Найти напряжение(V) на индуктивной катуике, есликолебания тока запаздывают от колебаний напряжения по фазе на 4/π​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Соединение - последовательное, значит ток через все элементы течет один и тот же I (см. рисунок) а вот падения напряжения на элементах отличаются и по модулю, и по фазе. На этом рис:

U_L - падение напряжения на индуктивности (величина неизвестная), В

U_C - падение напряжения на конденсаторе (по условию 6 В);

U_R - падение напряжения на активном сопротивлении (по условию 2 В);

φ - угол между напряжением питания цепи, и током, по условию 4/π (или π/4?) рад.

Решим задачу с помощью векторной диаграммы. Итак:

- на активном сопротивлении фазы тока и напряжения совпадают;

- на конденсаторе ток опережает напряжение на 90°, или π/2 рад;

- на индуктивности ток отстает от напряжения на 90° или π/2 рад.

Векторную диаграмму строим стандартно: т.е. считаем, что все вектора вращаются против часовой стрелки (естественно, с одинаковой частотой). Строим Векторную Топографическую Диаграмму (точки на схеме совпадают с точками на векторной диаграмме):

Сначала вектор тока I. Дальше из точки А в точку В (активное сопротивление) вектор U_R - вектор совпадает по фазе с вектором тока.

Из точки В в точку D - U_C. На конденсаторе ток опережает напряжение, следовательно напряжение отстает от тока на на 90°.

Из точки D в точку С. Ток на индуктивности отстает от напряжения, т.е. напряжение опережает ток на 90°.

Вектор напряжения U строится из т. А в т. С. Угол φ - угол между векторами тока и напряжения.

Запишем уравнение:

из треугольника (прямоугольного) АВС видим, что

tgφ=(U_L-U_C)/U_R,

U_L=tgφ*U_R+U_С;

U_L=tg(4/π)*2+6;

U_L=3.26*2+6=12.5 (В);

если φ все-таки π/4 (это красивее π/4 рад = 45 °, tg45°=1);

U_L=1*2+6=8 (В);

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать комплексные числа и понятие импеданса, которое учитывает фазовые сдвиги и взаимодействие активного сопротивления, индуктивности и емкости в цепи переменного тока.

Импеданс активного сопротивления (R) равен сопротивлению (так как его фазовый угол с напряжением равен 0°): $Z_R = R.$

Импеданс индуктивности (L) выражается как комплексное число с мнимой частью, учитывающей фазовый сдвиг 90° между напряжением и током: $Z_L = j \omega L,$ где $j$ - мнимая единица, $\omega$ - угловая частота, $L$ - индуктивность.

Импеданс конденсатора (C) также выражается комплексным числом с мнимой частью, учитывающей фазовый сдвиг -90°: $Z_C = \frac{1}{j \omega C}.$

Суммарный импеданс цепи равен сумме импедансов всех элементов в цепи: $Z_{\text{сумм}} = Z_R + Z_L + Z_C.$

Из условия задачи известно, что фазовый сдвиг между током и напряжением составляет $4/\pi$ радиан. Фазовый сдвиг между током и напряжением на индуктивной катушке (L) равен $90°$ (или $\pi/2$ радиан), а на конденсаторе (C) равен $-90°$ (или $-\pi/2$ радиан).

Таким образом, суммарный импеданс цепи можно записать следующим образом: $Z_{\text{сумм}} = R + j \omega L + \frac{1}{j \omega C}.$

Для нахождения напряжения на индуктивной катушке (L) мы можем использовать закон Ома для переменного тока, который устанавливает связь между напряжением, током и импедансом: $U_L = I \cdot Z_L,$ где $U_L$ - напряжение на индуктивности, $I$ - ток.

Используя ток как общий множитель, мы можем записать: $U_L = I \cdot j \omega L.$

Также известно, что фазовый сдвиг между напряжением и током на индуктивной катушке составляет $4/\pi$ радиан. Фазовый сдвиг между напряжением и током в этом случае определяется углом аргумента комплексного числа: $\theta = \arctan \left(\frac{\text{мнимая часть}}{\text{действительная часть}}\right).$

Сравнив это со значением $4/\pi$, мы можем записать: $\frac{4}{\pi} = \arctan \left(\frac{\omega L}{R}\right).$

Решая это уравнение относительно $\omega L$, мы найдем значение угловой частоты, связанное с индуктивностью: $\omega L = R \cdot \tan\left(\frac{4}{\pi}\right).$

Теперь мы можем выразить напряжение на индуктивной катушке: $U_L = I \cdot j \cdot R \cdot \tan\left(\frac{4}{\pi}\right).$

Так как $U_L = 6 \, \text{В}$, мы можем выразить ток $I$: $I = \frac{U_L}{j \cdot R \cdot \tan\left(\frac{4}{\pi}\right)}.$

Теперь, используя ток $I$ и импеданс индуктивности $Z_L = j \omega L$, мы можем найти напряжение на индуктивной катушке: $U_L = I \cdot Z_L = \frac{U_L}{j \cdot R \cdot \tan\left(\frac{4}{\pi}\right)} \cdot j \cdot R \cdot \tan\left(\frac{4}{\pi}\right) = U_L.$

Итак, напряжение на индуктивной катушке составляет $6 \, \text{В}$, как и на конденсаторе.