Question

На вал в виде полого тонкостенного цилиндра радиусом 5,5 см и массой 7 кг намотана лёгкая нить, к концу которой привязан груз массой 1,9 кг. Определить угловое ускорение вала. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с^2.

Answer 1

Ответ:

38 рад/с²

Объяснение:

Воспользуемся вторым законом Ньютона для вращательного движения:

$\displaystyle M=J\epsilon$

где М - вращающий момент, J - момент инерции тела относительно оси вращения, ε - угловое ускорение.

Вращающий момент в условии задачи создается натяжением нити, при этом груз опускается с некоторым ускорением:

$\displaystyle T=m(g-a)$

$\displaystyle M=Tr=mr(g-a)$

Момент инерции тонкостенного цилиндра:

$\displaystyle J=m_cr^2$

Связь линейного ускорения с угловым:

$\displaystyle a=\epsilon r$

Подставляя все во второй закон Ньютона, получим:

$\displaystyle mr(g-\epsilon r)=m_cr^2\epsilon$

выражаем отсюда угловое ускорение:

$\displaystyle \epsilon=\frac{mg}{m_cr+mr}=\frac{1.9*9.8}{7*0.055+1.9*0.055}\approx38$ рад/с².

Answer 2

Для решения данной задачи нам потребуется использовать законы динамики и момент инерции. Момент инерции цилиндра относительно его оси можно выразить как:

$I = \frac{1}{2} m r^2,$

где $m$ - масса цилиндра, $r$ - радиус цилиндра.

Первоначально у нас есть два объекта сил: груз и натяжение нити, действующее радиально на вал. Уравнение второго закона Ньютона для вращательного движения гласит:

$\tau = I \cdot \alpha,$

где $\tau$ - момент силы, действующей на тело; $\alpha$ - угловое ускорение.

Момент силы натяжения нити можно выразить как произведение натяжения $T$ на радиус $r$:

$\tau = T \cdot r.$

Сила натяжения нити связана с ускорением груза и угловым ускорением вала следующим образом:

$T = m_{\text{груза}} \cdot a = m_{\text{груза}} \cdot g,$

где $m_{\text{груза}}$ - масса груза, $a$ - ускорение груза (равное ускорению свободного падения $g$).

Собирая все вместе:

$T \cdot r = I \cdot \alpha.$

Подставим значения:

$m_{\text{груза}} \cdot g \cdot r = \frac{1}{2} m_{\text{цилиндра}} \cdot r^2 \cdot \alpha.$

Теперь разрешим уравнение относительно углового ускорения $\alpha$:

$\alpha = \frac{2 \cdot m_{\text{груза}} \cdot g}{m_{\text{цилиндра}} \cdot r}.$

Подставляем числовые значения:

$\alpha = \frac{2 \cdot 1.9 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2}{7 \, \text{кг} \cdot 0.055 \, \text{м}} \approx 11.99 \, \text{рад/с}^2.$

Таким образом, угловое ускорение вала составляет примерно $11.99 \, \text{рад/с}^2$.