Question

При адиабатическом сжатии 2 кг азота ,имевшего до сжатия температуру -53С ,объём газа уменьшился в 8 раз. Найти конечную температуру газа и работу сжатия

Answer 1

Азот - двухатомный газ, поэтому уравнение его адиабаты

$pV^{7/5} = \text{const}\\\nu R T V^{2/5} = \text{const}\\TV^{2/5} = \text{const}$

Если объем уменьшается в 8 раз, то абсолютная температура возрастает в 8^(2/5) раза, это примерно 505.4 К или 232.4 C

Работа сжатия в адиабатическом процессе идет вся на изменение внутренней энергии газа, то есть

$A = \frac{5}{2}\frac{m}{\mu}R\Delta T \approx 0.4 \text{ MJ}$

Примерно 0.4 мегаджоуля.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы адиабатического процесса и уравнение состояния идеального газа.

Адиабатический процесс описывается уравнением:

$$PV^\gamma = \text{const},$$

где:

• $P$ - давление газа,
• $V$ - объем газа,
• $\gamma$ - показатель адиабаты (отношение удельных теплоемкостей $C_p$ и $C_v$).

Для идеального монатомического газа, такого как азот ($\text{N}_2$), $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{5}{3}$.

Из начальных данных известно, что $m = 2 \, \text{кг}$, $V_{\text{нач}}$, T_{\text{нач}} = -53 \, ^\circ\text{C} = 220 \, \text{K}, и $V_{\text{кон}} = \frac{1}{8} V_{\text{нач}}$.

Масса газа $m$ связана с объемом $V$ через уравнение идеального газа:

$$PV = mRT,$$

где $R$ - универсальная газовая постоянная ($8.31 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К})$), $T$ - абсолютная температура.

Мы можем объединить эти два уравнения:

$$V^\gamma \cdot \frac{mR}{V} = \text{const}.$$

Переписав это уравнение для начального и конечного состояний газа:

$$V_{\text{нач}}^\gamma \cdot \frac{mR}{V_{\text{нач}}} = V_{\text{кон}}^\gamma \cdot \frac{mR}{V_{\text{кон}}}.$$

Подставив $V_{\text{кон}} = \frac{1}{8} V_{\text{нач}}$ и $\gamma = \frac{5}{3}$, мы можем выразить конечную температуру $T_{\text{кон}}$ через начальную температуру $T_{\text{нач}}$:

$$T_{\text{кон}} = T_{\text{нач}} \cdot \left( \frac{V_{\text{нач}}}{V_{\text{кон}}} \right)^{\gamma - 1}.$$

Подставляя численные значения и решая, получим:

$$T_{\text{кон}} = 220 \, \text{K} \cdot \left( \frac{8}{1} \right)^{\frac{5}{3} - 1} ≈ 867.26 \, \text{K}.$$

Теперь мы можем найти работу сжатия $W$ по формуле:

$$W = \frac{mR}{\gamma - 1} \left( T_{\text{кон}} - T_{\text{нач}} \right).$$

Подставляя численные значения, получаем:

$$W = \frac{2 \, \text{кг} \times 8.31 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К})}{\frac{5}{3} - 1} \left( 867.26 \, \text{K} - 220 \, \text{K} \right) ≈ 8267.82 \, \text{Дж}.$$

Итак, конечная температура газа составляет около $867.26 \, \text{K}$, а работа сжатия равна примерно $8267.82 \, \text{Дж}$.