Question

Ракета поднялась на высоту h =990 км. На сколько уменьшилась сила тяжести, действующая на ракету на заданной высоте, по сравнению с силой тяжести, действующей на нее на поверхности Земли? Масса ракеты на поверхности Земли равна m=500 кг . Изменением массы ракеты при полете пренебречь.

Answer 1

Ответ:

Сила тяжести уменьшилась примерно на 1231 Н

Объяснение:

m = 500 кг

g = 9.81 Н/кг - ускорение свободного падения на поверхности Земли

h = 990 км - высота ракеты над поверхностью Земли

R = 6371 км - радиус Земли

ΔFт - ? - уменьшение силы тяжести

---------------------------------------------------

$g = \dfrac{GM}{R^2}$ , здесь G - гравитационная постоянная, М - масса Земли

$F_{T} = mg$ - сила тяжести ракеты на поверхности Земли

$g_h = \dfrac{GM}{(R + h)^2}$ - ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью Земли

$g_h = g \cdot \dfrac{R^2}{(R + h)^2}$

$F_{Th} = mg_h$ - сила тяжести ракеты на высоте h над поверхностью Земли

$\Delta F_T = F_T - F_{Th}$

$\Delta F_T = mg \cdot (1 - \dfrac{R^2}{(R + h)^2}) = 500 \cdot 9.81 \cdot (1 - \dfrac{6371^2}{(6371 + 990)^2}) \approx 1231~(H)$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать закон всемирного тяготения Ньютона:

$F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2},$

где $F$ - сила тяжести, $G$ - гравитационная постоянная ($6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2$), $m_1$ и $m_2$ - массы двух объектов, $r$ - расстояние между ними.

На поверхности Земли сила тяжести, действующая на ракету, будет равна $F_1 = \frac{G \cdot m \cdot M_{\text{Земли}}}{R_{\text{Земли}}^2}$, где $M_{\text{Земли}}$ - масса Земли ($5.972 \times 10^{24}\, \text{кг}$), $R_{\text{Земли}}$ - радиус Земли ($6371 \, \text{км}$).

На высоте $h$ сила тяжести, действующая на ракету, будет равна $F_2 = \frac{G \cdot m \cdot M_{\text{Земли}}}{(R_{\text{Земли}} + h)^2}$.

Теперь мы можем найти отношение сил тяжести на заданной высоте к силе тяжести на поверхности Земли:

$\frac{F_2}{F_1} = \frac{\frac{G \cdot m \cdot M_{\text{Земли}}}{(R_{\text{Земли}} + h)^2}}{\frac{G \cdot m \cdot M_{\text{Земли}}}{R_{\text{Земли}}^2}} = \frac{R_{\text{Земли}}^2}{(R_{\text{Земли}} + h)^2}.$

Подставим числовые значения:

$\frac{R_{\text{Земли}}^2}{(R_{\text{Земли}} + h)^2} = \frac{(6371 \, \text{км})^2}{(6371 \, \text{км} + 990 \, \text{км})^2} \approx 0.886.$

Таким образом, на высоте 990 км сила тяжести уменьшится примерно на 11.4% по сравнению со значением на поверхности Земли.