Question

Тело брошено под углом 60° к горизонту со скоростью 12 м/с. Найдите дальность полета и высоту подъема

Answer 1

Дано: v₀ = 12 м/с, α = 60°, g = 10 м/с²

Решение:

Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX горизонтально вдоль направления броска. Начало координат совместим с начальным положением тела. Система координат XOY жёстко связана с землёй.

1. Сначала найдем дальность полёта. Для этого сначала найдем время полёта.

$0 = v_{0y}\cdot t + \frac{a_y\cdot t^2}{2}$

$v_{0y} = v_0\cdot \sin(\alpha)$

$a_y = - g$

$0 = v_0\cdot \sin(\alpha)\cdot t - \frac{g\cdot t^2}{2}$

$\frac{g\cdot t^2}{2} = v_0\cdot \sin(\alpha)\cdot t$

$t > 0$ поэтому сократим равенство на t,

$\frac{g\cdot t}{2} = v_0\cdot \sin(\alpha)$

$t = \frac{2v_0\sin(\alpha)}{g}$ (V)

$x = v_{0x}\cdot t$

$v_{0x} = v_0\cdot \cos(\alpha)$

$x = v_0\cos(\alpha)\cdot t$

Подставим в последнее t из (V):

$x = v_0\cos(\alpha)\cdot\frac{2v_0\sin(\alpha)}{g} =$

$= \frac{2v^2_0\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{g} =$

$= \frac{v^2_0\sin(2\alpha)}{g}$

т.к. sin(2α) = 2sin(α)cos(α).

Итак, $x = \frac{v^2_0\sin(2\alpha)}{g}$

x = 12²(м/с)²·sin(2·60°)/(10м/с²) = 144·sin(120°)/10 (м) = 14,4·sin(90°+30°) (м) =

= 14,4·cos(30°) м = 14,4·(√3)/2 м ≈ 12,5 м

2. Найдем высоту подъёма. Для этого найдем время подъёма.

$v_y = v_{0y} + a_y\cdot t$

$a_y = - g$

$v_{0y} = v_0\cdot\sin(\alpha)$

На максимальной высоте очевидно будет $v_y = 0$, поэтому

$0 = v_0\sin(\alpha) - gt$

$gt = v_0\sin(\alpha)$

$t = \frac{v_0\sin(\alpha)}{g}$ (W)

$y = v_{0y}t + \frac{a_yt^2}{2}$

$y = v_0\sin(\alpha)t - \frac{gt^2}{2}$

Подставляем сюда значение t из (W):

$y = v_0\sin(\alpha)\cdot\frac{v_0\sin(\alpha)}{g} -$

$- \frac{g}{2}\cdot (\frac{v_0\sin(\alpha)}{g})^2 =$

$= \frac{v^2_0\sin^2(\alpha)}{g} - \frac{v^2_0\sin^2(\alpha)}{2g} =$

$= \frac{v^2_0\sin^2(\alpha)}{2g}$

Итак, $y = \frac{v^2_0\sin^2(\alpha)}{2g}$

y = 12²(м/с)²·sin²(60°)/(2·10м/с²) = 144·( (√3)/2 )²/ 20 (м) =

= 7,2·3/4 (м) = 5,4 м.

Answer 2

Для решения этой задачи о дальности полета и высоте подъема можно использовать уравнения движения тела в броске под углом. Ускорение свободного падения обозначим как $g = 9.8 \, \text{м/с}^2$.

1. Дальность полета ($R$): Дальность полета можно найти с использованием следующего уравнения: $R = \frac{v_0^2 \cdot \sin(2\theta)}{g},$ где $v_0$ - начальная скорость броска, $\theta$ - угол броска.

Подставляя значения $v_0 = 12 \, \text{м/с}$ и $\theta = 60^\circ$ в радианах ($\theta = \frac{\pi}{3}$), получаем: $R = \frac{12^2 \cdot \sin(2 \cdot \frac{\pi}{3})}{9.8} \approx 21.95 \, \text{м}.$

2. Высота подъема ($H$): Высоту подъема можно найти с использованием следующего уравнения: $H = \frac{v_0^2 \cdot \sin^2(\theta)}{2g},$

Подставляя значения $v_0 = 12 \, \text{м/с}$ и $\theta = 60^\circ$ в радианах ($\theta = \frac{\pi}{3}$), получаем: $H = \frac{12^2 \cdot \sin^2(\frac{\pi}{3})}{2 \cdot 9.8} \approx 3.06 \, \text{м}.$

Итак, в данной задаче дальность полета составляет приблизительно 21.95 м, а высота подъема - около 3.06 м.