Question

На одном из концов резинового шнура длиной 6 см и поперечным сечением 9 мм2 прикреплён груз массой 0.14 кг. Груз раскрутили за свободный конец шнура до угловой скорости 16 с 1. Чему станет равной длина шнура при вращении груза? Массу шнура и силу тяготения не учитывать. Модуль Юнга резины 8 МПа. Ответ дайте в см c точностью до трёх значащих цифр.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1)

Центростремительное ускорение:

aₙ = ω²·L = 16²·0,06 ≈15,4 м/с²

2)

Центростремительная сила:

Fₙ = m·aₙ = 0,14·15,4 ≈ 2,16 Н

3)

Механическое напряжение:

σ = Fₙ / S = 2,16 / (9·10⁻⁶) = 0,24·10⁶ Па  или   0,24 МПа

4)

По закону Гука:

σ = ε·E

Относительное удлинение:

ε = σ / E = 0,24 / 8 = 0,03  

5)

Но

ε = ΔL / L₀

ΔL = ε·L₀ = 0,03·6 = 0,18 см

Длина стала:

L = L₀ + ΔL = 6 + 0,18 ≈ 6,180 см

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения момента импульса и энергии.

Момент инерции груза вокруг конца, к которому прикреплен шнур, можно выразить как:

$I = m \cdot r^2$

где $m$ - масса груза, $r$ - расстояние от оси вращения до груза.

Сначала найдем момент инерции $I$:

$I = 0.14 \, \text{кг} \times (0.06 \, \text{м})^2 = 0.000504 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2$

Далее, используем закон сохранения момента импульса:

$I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2$

где $I_1$ - начальный момент инерции (сжатый шнур), $\omega_1$ - начальная угловая скорость, $I_2$ - конечный момент инерции (раскрученный шнур), $\omega_2$ - конечная угловая скорость.

Так как начальный момент инерции связан с длиной $L_1$ шнура, а конечный момент инерции - с длиной $L_2$ шнура, мы можем записать:

$I_1 = k \cdot L_1^2$ $I_2 = k \cdot L_2^2$

где $k$ - некоторая константа.

Теперь уравнение сохранения момента импульса можно записать как:

$k \cdot L_1^2 \cdot \omega_1 = k \cdot L_2^2 \cdot \omega_2$

Разделив обе стороны на $k \cdot \omega_1$, получим:

$L_1^2 = L_2^2 \cdot \frac{\omega_2}{\omega_1}$

Теперь подставляем данное значение момента инерции $I_2$ и угловую скорость $\omega_2 = 16 \, \text{рад/с}$:

$0.000504 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 = L_2^2 \cdot \frac{16}{\omega_1}$

Модуль Юнга $Y$ связан с длиной $L$ и моментом инерции $I$ следующим образом:

$Y = \frac{I \cdot \omega^2}{L^2}$

Мы можем выразить $L_2$ через $Y$, $I_2$ и $\omega_2$:

$L_2 = \sqrt{\frac{I_2 \cdot \omega_2^2}{Y}}$

Подставляем значения и решаем уравнение относительно $L_2$:

$L_2 = \sqrt{\frac{0.000504 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot (16 \, \text{рад/с})^2}{8 \times 10^6 \, \text{Н/м}^2}} \approx 0.018 \, \text{м}$

Ответ: При вращении груза длина шнура станет примерно 0.018 метров или 1.8 см.