Question

1.12. Залежність шляху, який пройшло тіло, від часу визначається рівнянням S = at 4 – bt 2 . Знайти екстремальне значення швидкості тіла. Побудувати графік залежності швидкості від часу за перші п’ять се- кунд руху, якщо a = 0,25 м/с4 , b = 9 м/с2 . Відповідь: υ =− min 29,3 м/с.

Answer 1

Ответ:

скорость есть производная перемещения:

v=S'=4at³-2bt, (кубическая парабола)

Чтобы найти экстремум v опять возьмем производную от v и приравняем её к 0:

v'=12at²-2b=0, t=√(b/6a)= 2.449c -момент экстремума, vмин=-29.4 м/с минимальное значение для положительного t>0

Для построения графика подставь заданные а и в и вычисли для точек t=0,1,2,3,4,5 c.

Answer 2

Для знаходження екстремального значення швидкості тіла, спочатку знайдемо похідну функції S від часу t і прирівняємо її до нуля. Потім знайдемо значення t, при якому ця похідна дорівнює нулю, і використаємо його для обчислення швидкості.

Задана функція руху: S = at^4 - bt^2

Для знаходження похідної за часом по функції S використовуємо правила диференціювання:

dS/dt = 4at^3 - 2bt

Тепер прирівнюємо це до нуля і розв'язуємо для t:

4at^3 - 2bt = 0

2t(2at^2 - b) = 0

Тут можливі два випадки:

1. 2t = 0 => t = 0
2. 2at^2 - b = 0 => t^2 = b / (2a) => t = ±√(b / (2a))

Тепер ми маємо три можливих значення t: t = 0, t = √(b / (2a)), та t = -√(b / (2a)).

Підставимо значення a = 0.25 м/с^4 і b = 9 м/с^2:

t1 = 0 t2 = √(9 / (2 * 0.25)) = √(36) = 6 секунд t3 = -√(9 / (2 * 0.25)) = -√(36) = -6 секунд

Таким чином, ми маємо три можливих значення часу, при яких швидкість може бути екстремальною: t1 = 0 секунд, t2 = 6 секунд і t3 = -6 секунд.

Тепер, щоб знайти екстремальне значення швидкості, підставимо ці значення часу в похідну dS/dt:

1. При t = 0 секунд: dS/dt |(t=0) = 4a(0)^3 - 2b(0) = 0

2. При t = 6 секунд: dS/dt |(t=6) = 4a(6)^3 - 2b(6) = 4 * 0.25 * (6^3) - 2 * 9 * 6 = 54 - 108 = -54 м/с

3. При t = -6 секунд: dS/dt |(t=-6) = 4a(-6)^3 - 2b(-6) = 4 * 0.25 * (-6^3) - 2 * 9 * (-6) = -54 + 108 = 54 м/с

Отже, ми знайшли три можливих значення швидкості: 0 м/с, -54 м/с і 54 м/с. Мінімальне значення швидкості буде -54 м/с, що відповідає моменту часу t = 6 секунд.

Тепер побудуємо графік залежності швидкості від часу для перших п'яти секунд руху:

Згідно з рівнянням dS/dt = 4at^3 - 2bt, побудуємо графік для t від -5 секунд до 5 секунд (для включення перших п'яти секунд):

t = -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 секунд dS/dt = -54, -54, -54, -54, -54, 0, 54, 54, 54, 54, 54 м/с

Тепер побудуємо графік залежності швидкості від часу:

Графік буде мати горизонтальну лінію на рівні -54 м/с протягом перших п'яти секунд і подальше підвищення швидкості до 54 м/с.

Отже, графік швидкості від часу виглядає так:

yamlCopy code
     |
     |               /
 54  |- - - - - - -/
     |            /
     |
     |-------------------------------------
       -5  -4  -3  -2  -1   0   1   2   3   4   5
                    Час (секунди)

Мінімальне значення швидкості -54 м/с досягається при t = 6 секунд, а потім швидкість зростає.