Question

Ленту перематывают с одной бобины на другую так, что скорость свободной ленты, находящейся между бобинами, всё время постоянна и равна 1 см/с. Толщина ленты 0,1 мм. Радиус первой бобины (вместе с лентой) в начальный момент времени равен 1 см. С какой частотой будет вращаться первая бобина по прошествии 100 с после начала перематывания? Оси вращения бобин параллельны друг другу и расстояние между ними постоянно. Ответ выразите в c−1, округлите до сотых.

Answer 1

Ответ:

скорость увеличения площади равна скорости ленты v умножить на толщину ленты h

dS/dt =  v*h

за время t площадь бобины с лентой будет равна

S=S0+dS/dt*t =S0+v*h*t

r=корень( S/pi) = корень( ro^2 + (v*h*t/pi))

w= v/r

f = w/(2pi) = v/(2*pi*корень( ro^2 + (v*h*t/pi))) = 0,01/(2*3,14*корень( 0,01^2 + (0,01*0,001*100/3,14))) c-1 =0,077841 c-1 ~ 0,08 c-1 - это ответ

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать закон сохранения момента импульса. Момент импульса системы, состоящей из бобины и ленты, должен оставаться постоянным, так как нет внешних горизонтальных сил, действующих на систему.

Момент импульса можно выразить как произведение момента инерции (I) на угловую скорость (ω):

L = I * ω

Для бобины момент инерции можно выразить следующим образом:

I = 0.5 * m * R^2

где:

• m - масса ленты (масса ленты на единицу длины умноженная на длину ленты)
• R - радиус бобины

Для начальной бобины: R_1 = 1 см = 0,01 м m_1 = (0,001 мм * 0,01 м) * плотность ленты

Для конечной бобины (через 100 секунд): R_2 = R_1 + 0,01 м = 0,02 м m_2 = (0,001 мм * 0,02 м) * плотность ленты

Так как момент импульса остается постоянным, мы можем записать:

I_1 * ω_1 = I_2 * ω_2

0.5 * m_1 * R_1^2 * ω_1 = 0.5 * m_2 * R_2^2 * ω_2

m_1 * R_1^2 * ω_1 = m_2 * R_2^2 * ω_2

(0,001 мм * 0,01 м)^2 * ω_1 = (0,001 мм * 0,02 м)^2 * ω_2

(0,00000001 м^2) * ω_1 = (0,00000004 м^2) * ω_2

ω_2 = (0,00000001 м^2 / 0,00000004 м^2) * ω_1

ω_2 = 0,25 * ω_1

Теперь, чтобы найти частоту вращения первой бобины (ω_1), мы можем воспользоваться формулой для линейной скорости на краю бобины:

v = R_1 * ω_1

1 см/с = 0,01 м * ω_1

ω_1 = (1 см/с) / (0,01 м) = 100 с^-1

Теперь мы можем найти частоту вращения второй бобины:

ω_2 = 0,25 * 100 с^-1 = 25 с^-1

Итак, частота вращения первой бобины через 100 секунд после начала перематывания составит 25 с^-1, округлено до сотых.