Question

1. По гладкому горизонтальному столу во взаимно перпендикулярных направлениях движутся два пластилиновых шара. Их массы равны m1=0,3кг и m2=0,2кг, а скорости υ1=8м/с и υ2=16м/с. Чему равна скорость образовавшегося в результате удара тела и какой угол α она составляет со скоростью υ1? 2. Шарик массой 100 г свободно упал на горизонтальную площадку, имея в момент удара скорость 10 м/с. Найти изменение импульса шара при абсолютно неупругом и абсолютно упругом ударах. Вычислить среднюю силу, действующую на шарик во время удара, если неупругий удар длился 0,05 с, а упругий 0,01 с. 3. В воде с глубины 5м поднимают до поверхности камень объемом 0,6м3 . Плотность камня 2500кг/м3 и воды 1000 кг/м3 . Найти работу по подъему камня. 4. Полезная мощность насоса 10кВт. Какой объем воды может поднять этот насос с глубины 18м в течение 1ч? Плотность воды 1000 кг/м3

Answer 1

1)

Дано:

m1 = 0,3 кг

m2 = 0,2 кг

v1 = 8 м/с

v2 = 16 м/с

u - ?

α - ?

Решение:

Удар будет неупругим, т.к. шары пластилиновые. Значит закон сохранения импульса:

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)*u

Шары движутся взаимно перпендикулярно, значит проанализируем проекции их движения и применим закон сохранения импульса к проекциям импульсов шаров. Первый шар движется сонаправленно оси Х, второй - оси Y:

Ось Х: v1 = v1x; v2 = 0 => m1v1x = (m1 + m2)*ux => ux = m1v1x/(m1 + m2)

Ось Y: v1 = 0; v2 = v2y => m2v2y = (m1 + m2)*uy => uy = m2v2y/(m1 + m2)

теперь найдём скорость u:

u = √(ux² + uy²) = √((m1v1x/(m1 + m2))² + (m2v2y/(m1 + m2))²) = √(((m1v1x)² + (m2v2y)²)/(m1 + m2)²) = √(((0,3*8)² + (0,2*16)²)/(0,3 + 0,2)²) = √((5,76 + 10,24)/0,25) = √(16/0,25) = 4/0,5 = 8 м/с - скорость шаров после удара

Скорость первого шара сонаправленна с осью Х. После столкновения составляющая "ux" скорости "u" будет тоже сонаправленна с осью Х. Тогда угол между "u" и "v1" можно найти через отношение "ux" и "u" (через косинус угла между "ux" и "u"):

cosα = ux/u = (m1v1x/(m1 + m2))/u = (0,3*8/(0,3 + 0,2))/8 = 0,3*8/(0,5*8) = 0,3/0,5 = 0,6 => α = arccos(0,6) = 53,13010... = 53°

Ответ: 8 м/с, 53°.

2)

Дано:

m = 100 г = 0,1 кг

v = 10 м/с

t(неупр.) = 0,05 с

t(упр.) = 0,01 c

Δp(упр.), Δp(неупр.), Fср.(упр.), Fср.(неупр.) - ?

Решение:

Неупругий удар:

p1 = - mv1 - до удара (скорость противонаправлена оси Y, поэтому стоит знак "минус")

p2 = mv2 = 0 - после удара

Δp(неупр.) = p2 - p1 = mv2 - (- mv1) = 0 - (- mv1) = mv1 = 0,1 * 10 = 1 кг*м/с

Упругий удар:

p1' = - mv1

p2' = mv2 - после удара шарик отскочит (скорость по модулю будет такой же и она будет сонаправлена с осью Y, поэтому стоит знак "плюс")

Δp(упр.) = p2' - p1' = mv2 - (- mv1) = mv2 + mv1 = m(v2 + v1) = 0,1*(10 + 10) = 2 кг*м/с

Второй закон Ньютона в импульсной форме:

F*t = Δp => F = Δp/t

Fср.(упр.) = Δp(упр.)/t(упр.) = 2/0,01 = 200 Н

Fср.(неупр.) = Δp(неупр.)/t(неупр.) = 1/0,05 = 20 Н

Ответ: 1 кг*м/с, 2 кг*м/с, 20 Н, 200 Н.

3)

Дано:

h = 5 м

V(камня) = 0,6 м³

p(камня) = 2500 кг/м³

р(воды) = 1000 кг/м³

A - ?

Решение:

Камень из воды поднимать легче, потому что на него действует сила Архимеда, направление которой совпадает с направлением силы подъёма и обратно направлению силы тяжести. Если камень поднимают равномерно, то равнодействующая сил равна нулю:

F(подъёма) + Fa + Fт = ma = 0

F(подъёма) + Fa - Fт = 0 (сила тяжести со знаком "минус" - направление обратное направлениям силы подъёма и силы Архимеда)

F(подъёма) = Fт - Fa = mg - p(воды)*V(камня)*g = p(камня)*V(камня)*g - p(воды)*V(камня)*g = V(камня)*g*(p(камня) - p(воды))

Работа по подъёму камня равна:

A = F(подъёма)*h = V*(камня)*g*h*(p(камня) - p(воды)) = 0,6*10*5*(2500 - 1000) = 30*1500 = 45000 = 45 кДж

Ответ: 45 кДж.

4)

Дано:

N = 10 кВт = 10000 Вт = 10^4 Вт

h = 18 м

t = 1 ч = 3600 с = 3,6*10^3 c

р(воды) = 1000 кг/м³ = 10^3 кг/м³

V - ?

Решение:

N = A/t - мощность является отношением работы ко времени

А = Fт*h - работа по подъёму воды будет равна по модулю работе силы тяжести

Fт = mg = p(воды)*V*g =>

=> A = p(воды)*V*g*h =>

=> N = (p(воды)*V*g*h)/t => V = (N*t)/(p(воды)*g*h) = (10^4*3,6*10^3)/(10^3*10*18) = (3,6/18) * (10^7/10^4) = 0,2*10^3 = 200 м³

Ответ: 200 м³.

Answer 2

Давайте разберемся с каждой из задач по очереди:

1. Скорость после удара и угол α:

   После удара два шара сталкиваются, и мы можем использовать законы сохранения импульса и энергии для решения этой задачи. Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов системы до удара равна сумме импульсов после удара.

   Импульс (p) определяется как произведение массы и скорости: p = m * v.

   Исходно:

   • m1 = 0.3 кг, v1 = 8 м/с
   • m2 = 0.2 кг, v2 = 16 м/с

   Суммарный импульс до удара: p_initial = (m1 * v1) + (m2 * v2)

   После удара, если обозначить скорость образовавшейся системы как V, то:

   • m1 * Vx + m2 * Vx = (m1 + m2) * V * cos(α)
   • m1 * Vy + m2 * Vy = (m1 + m2) * V * sin(α)

   Где Vx и Vy - горизонтальная и вертикальная составляющие скорости соответственно.

   Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными (V и α). Для их решения, можно возвести оба уравнения в квадрат и сложить их, чтобы избавиться от trigonometric функций:

   (m1 * Vx + m2 * Vx)^2 + (m1 * Vy + m2 * Vy)^2 = ((m1 + m2) * V)^2

   Теперь можно решить это уравнение относительно V и α. После получения V, вы можете найти α, используя арктангенс (тангенс угла α равен отношению Vy к Vx).

2. Изменение импульса и средняя сила:

   Изменение импульса равно конечному импульсу минус начальному импульсу: Δp = p_final - p_initial.

   • Неупругий удар: В этом случае шарик прилипает к площадке, и его скорость после удара будет нулевой. Таким образом, Δp = -p_initial.
   • Упругий удар: В этом случае шарик отскакивает и сохраняет свою скорость. Δp = 0, так как начальный и конечный импульсы одинаковы.

   Для нахождения средней силы (F) во время удара, мы можем использовать второй закон Ньютона: F = Δp / Δt, где Δt - время удара.

   • Для неупругого удара: Δt = 0.05 секунд.
   • Для упругого удара: Δt = 0.01 секунд.

3. Работа по подъему камня:

   Работа (W) по подъему камня в воде определяется как произведение силы, действующей вверх (равной весу камня), и расстояния, на которое поднимается камень:

   W = F * d

   Где:

   • F - сила (вес камня), равная массе камня умноженной на ускорение свободного падения (g).
   • d - расстояние, на которое поднимается камень.

   Для нахождения работы нужно учесть, что вес камня направлен вниз и работа будет отрицательной, так как сила и перемещение имеют противоположные направления.

4. Объем воды, поднятый насосом:

   Работа насоса (работа против силы тяжести) равна изменению потенциальной энергии воды. Работа определяется как:

   W = m * g * h

   Где:

   • m - масса воды, которую нужно поднять.
   • g - ускорение свободного падения (приближенно 9.81 м/с²).
   • h - высота подъема (глубина, с которой поднимается вода).

   Массу воды можно найти, используя плотность (ρ) и объем (V):

   m = ρ * V

   Зная массу, вы можете выразить объем V как:

   V = m / ρ

   Подставив это значение в уравнение работы, вы сможете найти, какой объем воды может поднять насос.