Question

По пути из пункта A в пункт B асфальтированная дорога переходит в грунтовую. Грузовик доехал из A до B за полтора часа, причём его скорость на асфальтированном участке оказалась на 12 км/час больше средней скорости на всём маршруте vср, а на грунтовой дороге — на 12 км/час меньше vср. Определите длину грунтового участка, если длина всего маршрута составила 100 км. Ответ выразите в км, округлив до целого числа.

Answer 1

Ответ:

41 километр.

Объяснение:

Пусть весь путь - S=100км. Найдем среднюю скорость на всем пути.

$v_{cp}$ = $\frac{100km}{1,5h}$= $66\frac{2}{3}$ч. Тогда $v_{a}$ и $v_{g}$(скорость на асфальте и на грунте) соответственно равны $78\frac{2km}{3h}$ и $54\frac{2km}{3h}$. Пусть L - расстояние, которое грузовик проехал на асфальте. Тогда на грунте грузовик проехал S-L км. Заметим: $t_o = \frac{S-L}{v_a}+\frac{L}{v_g}$. Значит, если мы примем $v_{cp} = \frac{200}{3}$, то можно составить формулу: $(\frac{3(S-L)}{236}+\frac{3L}{164})*\frac{200}{3} = S$. Приведя это выражение в человеческий вид(это я записывать не стану), мы получим $216L=8836$. Разделив 8836 на 216 мы получим 41 километр. Вот и ответ.

Ты тоже с Сириуса? Я сам решил, это работает.

Answer 2

Пусть $d$ — длина грунтового участка, а $100 - d$ — длина асфальтированного участка.

Средняя скорость на всем маршруте $v_{\text{ср}}$ вычисляется как среднее гармоническое двух скоростей:

$$v_{\text{ср}} = \frac{2ab}{a+b},$$

где $a$ — скорость на асфальтированном участке, а $b$ — скорость на грунтовом участке.

Условие задачи гласит, что скорость на асфальтированном участке на 12 км/ч больше средней скорости, т.е. $a = v_{\text{ср}} + 12$. Скорость на грунтовом участке на 12 км/ч меньше средней скорости, т.е. $b = v_{\text{ср}} - 12$.

Подставляем значения $a$ и $b$ в формулу для средней скорости:

$$v_{\text{ср}} = \frac{2 \cdot (v_{\text{ср}} + 12) \cdot (v_{\text{ср}} - 12)}{v_{\text{ср}} + 12 + v_{\text{ср}} - 12}.$$

Упрощаем выражение:

$$v_{\text{ср}} = \frac{2(v_{\text{ср}}^2 - 12^2)}{2v_{\text{ср}}}.$$

Сокращаем на $v_{\text{ср}}$:

$$1 = \frac{v_{\text{ср}}^2 - 144}{v_{\text{ср}}}.$$

Умножаем обе стороны на $v_{\text{ср}}$:

$$v_{\text{ср}} = v_{\text{ср}}^2 - 144.$$

Переносим все члены в левую часть:

$$v_{\text{ср}}^2 - v_{\text{ср}} - 144 = 0.$$

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $v_{\text{ср}}$:

$$v_{\text{ср}}^2 - v_{\text{ср}} - 144 = 0.$$

Решим это уравнение:

$$(v_{\text{ср}} - 12)(v_{\text{ср}} + 12) = 0.$$

Таким образом, $v_{\text{ср}} = 12$ (отрицательное значение скорости не имеет физического смысла).

Теперь мы знаем, что средняя скорость $v_{\text{ср}} = 12$ км/ч. Мы также знаем, что $a = v_{\text{ср}} + 12 = 24$ км/ч и $b = v_{\text{ср}} - 12 = 0$ км/ч.

Время, которое грузовик проводит на асфальтированном участке, составляет $\frac{100 - d}{24}$ часов. Время, проведенное на грунтовом участке, равно $\frac{d}{0}$, что не имеет смысла.

Суммируем время на обоих участках и приравниваем его к общему времени в 1.5 часа:

$$\frac{100 - d}{24} + \frac{d}{0} = 1.5.$$

Так как деление на ноль невозможно, это означает, что $d = 0$, т.е. грунтовый участок имеет нулевую длину. Это странно и не имеет физического смысла. Возможно, в задаче допущена ошибка или упущение. Пожалуйста, проверьте условие задачи.