Question

Груз массой 888 г колеблется на пружине жёсткостью 100 Н/м с амплитудой 3,8 см. Определи потенциальную и кинетическую энергию колебаний в тот момент, когда смещение груза равно 2,8 см. (Ответы округли до тысячных.) Ответ: потенциальная энергия: Дж, кинетическая энергия: Дж.

Answer 1

Дано:

m = 888 г = 0,888 кг

A_max = 3,8 см = 0,038 м

A = 2,8 см = 0,028 м

k = 100 Н/м

Wk, Wp - ?

Решение:

Потенциальная энергия маятника с амплитудой А равна:

Wp = kA²/2 = 100*0,028²/2 = 50*0,028² = 50*0,000784 = 0,0392 = 0,039 Дж

Полная механическая энергия маятника равна максимальной потенциальной энергии маятника:

W = Wp_max

В то же время полная механическая энергия равна сумме потенциальной и кинетической энергий:

W = Wp + Wk

Приравняем:

Wp_max = Wp + Wk - выразим кинетическую:

Wk = Wp_max - Wp = kA_max²/2 - kA²/2 = k*(A_max² - A²)/2 = 100*(0,038² - 0,028²)/2 = 100*(0,038 - 0,028)(0,038 + 0,028)/2 = 100*0,00066/2 = 50*0,00066 = 0,033 Дж

Чтобы найти кинетическую энергию через массу, надо найти квадрат максимальной скорости груза. Чтобы найти максимальную скорость груза, надо вычислить циклическую частоту маятника:

v_max = A_max*w

w = √(k/m) => v_max = A_max*√(k/m)

Теперь мы можем составить уравнение для максимальной кинетической энергии. Она, впрочем, также как и максимальная потенциальная равна полной механической энергии маятника:

W = Wk_max

Далее по аналогии с максимальной потенциальной:

Wk_max = Wp + Wk

Wk = Wk_max - Wp = m*v_max²/2 - kA²/2 = m*(A_max*√(k/m))²/2 - kA²/2 = (m*(A_max*√(k/m))² - kA²)/2 = (0,888*(0,038*√(100/0,888))² - 100*0,028²)/2 = (0,888*0,038²*(100/0,888) - 100*0,028²)/2 = (0,038²*100 - 0,028²*100)/2 = 100*(0,038² - 0,028²)/2 = 50*(0,038² - 0,028²) = 50*(0,038 - 0,028)(0,038 + 0,028) = 50*0,00066 = 0,033 Дж

Ответ: потенциальная: 0,039 Дж, кинетическая: 0,033 Дж.

Answer 2

Для определения потенциальной и кинетической энергии колебаний груза, сначала определим максимальное смещение (амплитуду) и период колебаний.

Амплитуда (A) дана в условии и равна 3,8 см, что равно 0,038 м. Пружинная жёсткость (k) дана в условии и равна 100 Н/м. Масса груза (m) дана в условии и равна 888 г, что равно 0,888 кг.

Период колебаний (T) можно найти, используя следующую формулу:

T = 2π√(m/k)

T = 2π√(0,888 кг / 100 Н/м) = 2π√(0,00888 м²/с²) = 2π * 0,0943 с ≈ 0,5927 с.

Теперь мы можем определить потенциальную и кинетическую энергию груза, когда его смещение равно 2,8 см (или 0,028 м).

Потенциальная энергия (PE) в данном случае будет равна кинетической энергии в максимальной точке (когда смещение равно амплитуде), так как полная механическая энергия сохраняется во время колебаний. Таким образом:

PE = 0,5 * k * A² PE = 0,5 * 100 Н/м * (0,038 м)² = 0,5 * 100 * 0,001444 м² = 0,0722 Дж.

Теперь найдем кинетическую энергию (KE) при смещении 2,8 см:

KE = 0,5 * m * v²

Для нахождения скорости (v) при смещении 2,8 см, мы можем использовать следующее уравнение колебательного движения:

x = A * cos(ωt)

где x - текущее смещение, A - амплитуда, ω - угловая частота (ω = 2π/T), t - время.

При x = 0,028 м:

0,028 м = 0,038 м * cos(2π * t / 0,5927 с)

cos(2π * t / 0,5927 с) = 0,7368

Теперь найдем угол, у которого косинус равен 0,7368:

2π * t / 0,5927 с = arccos(0,7368)

2π * t / 0,5927 с ≈ 0,732 радиан

t ≈ (0,732 радиан * 0,5927 с) / (2π) ≈ 0,0588 с.

Теперь мы можем найти скорость (v) при смещении 2,8 см:

v = -A * ω * sin(ωt)

v = -(0,038 м) * (2π / 0,5927 с) * sin(2π * 0,0588 с / 0,5927 с)

v ≈ -0,1207 м/с.

Теперь найдем кинетическую энергию:

KE = 0,5 * m * v² KE = 0,5 * 0,888 кг * (-0,1207 м/с)² ≈ 0,0063 Дж.

Итак, потенциальная энергия груза при смещении 2,8 см составляет около 0,0722 Дж, а его кинетическая энергия составляет около 0,0063 Дж.