Question

На орбите какой высоты над Землей движется спутник, если его скорость в 2 раза меньше первой космической для Земли? Объясните подробно,пожалуйста ​

Answer 1

Дано:

v = 0,5*V(1-я косм.)

h - ?

Решение:

Есть формула для центростремительного ускорения:

a = V²/R

Вместо "a" используем ускорение свободного падения:

g = V²/R

Выражая из этой формулы V, получим формулу для первой космической скорости:

V² = gR

V = √(gR), где g - это примерно 9,8 м/с², а R - радиус Земли.

По условию скорость спутника в 2 раза меньше первой космической:

v = 0,5*V(1-я косм.), значит:

v = 0,5*√(gR) - поместим 0,5 под корень:

v = √(0,5²*gR)

C другой стороны есть формула закона всемирного тяготения:

Fтяг = GMm/R², где G - гравитационная постоянная, M - масса Земли, а R - её радиус. Приравняем эту формулу к формуле силы тяжести (т.к. обе, по сути, описывают одно и то же явление, хоть сила тяжести и является частным случаем силы тяготения):

Fтяг = Fтяж

GMm/R² = mg - разделим обе части на "m"

GM/R² = g - это уравнение для "g". Подставим его в выражение для скорости спутника:

v = √(0,5²*gR) = √(0,5²*(GM/R²)R) = √(0,5²*GM/R) - очевидно, что ни к G, ни к M значение 0,5² не может относится, т.к. G - это постоянная, а M - масса Земли, которая вряд ли ни с того ни с сего уменьшилась. Тогда остаётся только радиус. Но земной радиус тоже не может уменьшаться или увеличиваться из-за того, что какой-то спутник летает вокруг Земли. Поэтому вернёмся к формуле для "g":

g = GM/R² - это g, которое у самой поверхности Земли. Чем дальше от поверхности, тем больше становится расстояние, и тем меньше становится g. Получается, что для тел, которые находятся на уже значительном расстоянии от Земли, один лишь радиус использовать нельзя - надо использовать сумму радиуса и высоты:

g = GM/(R + h)² - именно эту формулу мы используем для выражения скорости спутника:

g = v²/(R + h)

v² = g*(R + h)

v = √(g*(R + h)) = √((GM/(R + h)²)*(R + h)) = √(GM/(R + h))

и приравняем её к формуле для половины первой космической скорости, только теперь уже не будем помещать 0,5 под корень:

√(GM/(R + h)) = 0,5√(GM/R) - теперь можно выразить h и найти значение:

√(GM/(R + h)) = 0,5√(GM/R)

√(GM)/√(R + h) = 0,5√(GM)/√R | : √(GM)

1/√(R + h) = 0,5/√R

√(R + h) = 1/(1/(2√R)) | ² - возведём обе части в квадрат

R + h = 4R

h = 4R - R = 3R

Радиус Земли примерно равен 6400 км, тогда:

h = 3R = 3*6400 = 19200 км или 1,92*10^7 м

Проверим:

Масса Земли примерно равна 6*10^(24) кг, тогда:

v = √(GM/(R + h)) = √(6,67*10^(-11)*6*10^(24) / (6,4*10^6 + 1,92*10^7)) = √(6,67*6*10^(13) / (6,4*10^6 + 19,2*10^6)) = √(40,02*10^(13) / (10^6*(6,4 + 19,2))) = √(40,02*10^7/25,6) = 3953,835163 = 3954 м/с

V(1-я косм.) = 0,5√(GM/R) = 0,5*√(6,67*10^(-11)*6*10^(24)/6,4*10^6) = 0,5*√(40,02*10^7/6,4) = 0,5*7907,6703... = 0,5*7908 = 3954 м/с

Всё сходится.

Ответ: 19200 км или 1,92*10^7 м.

Answer 2

Первая космическая скорость, или космическая скорость первой космической космической, обычно называется скоростью, необходимой для поддержания круговой орбиты вокруг Земли на минимальной высоте. Эта скорость зависит от массы Земли и радиуса орбиты. Для упрощения рассмотрим пример, когда первая космическая скорость равна 7,9 километров в секунду (это значение может варьироваться в зависимости от точных параметров).

Теперь, если скорость спутника в 2 раза меньше первой космической скорости, то его скорость составляет 7,9 км/с / 2 = 3,95 км/с.

Чтобы понять, на какой высоте находится спутник с такой скоростью, мы можем использовать законы движения в космосе. Для поддержания спутника на орбите необходимо, чтобы центростремительная сила (которая зависит от скорости и радиуса орбиты) была равна гравитационной силе, которая удерживает спутник на орбите. Это можно выразить следующим образом:

Центростремительная сила = Гравитационная сила

mv^2/r = G * (m * M) / r^2

Где:

• m - масса спутника
• v - скорость спутника
• r - радиус орбиты
• G - гравитационная постоянная
• M - масса Земли

Масса спутника (m) и гравитационная постоянная (G) остаются постоянными, поэтому мы можем сократить их с обеих сторон уравнения:

v^2/r = G * M / r^2

Теперь мы можем выразить радиус орбиты (r) в зависимости от скорости (v):

r = (G * M) / v^2

Теперь мы можем вставить значение скорости спутника (3,95 км/с) и известные физические константы (G и M) для Земли:

r = (6.67430 * 10^-11 м^3/кг*с^2 * 5.972 * 10^24 кг) / (3,95 * 10^3 м/с)^2

Рассчитав это уравнение, мы получим радиус орбиты спутника. Затем мы можем выразить этот радиус в километрах, чтобы получить высоту над поверхностью Земли. Эта высота будет равна:

Высота = Радиус орбиты - Радиус Земли

Где радиус Земли примерно равен 6371 километру (в километрах).

Пожалуйста, обратитесь к точным значениям физических констант и данным о первой космической скорости для более точных расчетов.