Question

Определить логарифмический декремент затухания математического маятника длиной 50 м, если за 8 мин он теряет 99% своей энергии. (6,7 * 10 ^ -3)

Answer 1

Ответ: В линейных системах при затухающих колебаниях величина смещения изменяется со временем как х(t) = A* exp(-βt) * cos(ωt),

где β - коэффициент затухания. Поскольку энергия прямо пропорциональна квадрату смещения х, т. е.  Е ~ x², то энергия в текущий момент времени t меняется по закону: E (t) = E(0)* exp(-2βt),

где E(0) - значение энергии в начальный момент времени.

В нашей задаче: E(t=8мин) = Е(0) - 0,99Е(0) = 0,01Е(0), t= 480 секунд.

Тогда 0,01Е(0) = Е(0)* ехр(-2*480*β), откуда 0,01 = ехр(-960*β) и

㏑(0,01) = - 960β, откуда β = ㏑(100)/960 = ㏑10/480   с^(-1)

Логарифмический декремент: ∧= β*T,  T= 2*π*√l /√g - период колебаний математического маятника, l=50м.

Тогда ∧ = 2*π*㏑10*√l/(480√g) = 2*π*㏑10*√50/(480√9,8) =

=32,679/480 = 0,068

Answer 2

Логарифмический декремент затухания (ЛДЗ) связан с временем затухания (T) и длительностью периода колебаний (T_0) математического маятника следующим образом:

$\text{ЛДЗ} = \frac{1}{n} \ln\left(\frac{x_1}{x_2}\right)$

где $n$ - количество периодов, за которые амплитуда уменьшается в $e$ раз, $x_1$ и $x_2$ - амплитуды соответственно первого и $n$-го периодов.

В вашем случае маятник теряет 99% своей энергии за 8 минут. Поскольку длительность периода колебаний математического маятника определяется формулой:

$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

где $L$ - длина маятника, $g$ - ускорение свободного падения (приближенно равное $9.81 \, \text{м/с}^2$), мы можем выразить $T_0$ для данного маятника:

$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{50 \, \text{м}}{9.81 \, \text{м/с}^2}} \approx 14.19 \, \text{секунд}$

Теперь, чтобы найти амплитуды $x_1$ и $x_2$ для ЛДЗ, используем факт, что за 8 минут (или 480 секунд) маятник теряет 99% своей энергии. Таким образом, амплитуда $x_2$ будет составлять 1% от начальной амплитуды. Пусть $x_1$ - начальная амплитуда.

$x_2 = 0.01x_1$

Теперь, мы можем выразить ЛДЗ:

$\text{ЛДЗ} = \frac{1}{n} \ln\left(\frac{x_1}{0.01x_1}\right) = \frac{1}{n} \ln(100)$

Маятник полностью затухает за $n$ периодов (в данном случае $n = 480 \, \text{секунд}/14.19 \, \text{секунд} \approx 33.85$). Таким образом:

$\text{ЛДЗ} = \frac{1}{33.85} \ln(100) \approx \frac{1}{33.85} \times 4.6052 \approx 0.136$

Таким образом, логарифмический декремент затухания математического маятника длиной 50 м, который теряет 99% своей энергии за 8 минут, составляет примерно $0.136$.