Question

ДАЮ 25 БАЛЛОВ!!! СРОЧНО!!! На северный полюс Луны установили пушку, которая выпустила ядро под углом 45° к горизонту. Ядро упало на южный полюс Луны. Найти его максимальную высоту над поверхностью Луны.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

по закону сохранения момента импульса mwr = const получаем что в системе координат связанной с центром луны горизонтальная составляющая скорости ядра остается неизменной. т.е. в момент выстрела она составляла v/√2 и в точке наивысшей траектории она тоже равна v/√2

потенциальная энергия только приближенно равна mgh вблизи поверхности.

на самом деле она равна -m*M*G/r

минус потому что с увеличением расстояния она должна возрастать и при бесконечном расстоянии считаем что равна нулю.

по закону сохранения энергия ядра в момент выстрела

mv²/2-m*M*G/R

равна энергии в точке максимального удаления

m(v/√2)²/2-m*M*G/(R+h)=mv²/4-m*M*G/(R+h)

приравняем

mv²/2-m*M*G/R=mv²/4-m*M*G/(R+h)

сократим все что можно и получим

mv²/4=m*M*G/R-m*M*G/(R+h)

v²/4=M*G/R-M*G/(R+h)                           (1)

в точке максимального удаления сила инерции не должна превышать силу притяжения к луне.

F=ma=m(v/√2)²/(R+h) ≤ m*M*G/(R+h)²

т.е. v²/2 ≤ M*G/(R+h)

подставим в (1)

v²/4=1/2 * v²/2 = M*G/R-M*G/(R+h) ≤  M*G/(R+h) * ¹/₂

M*G/R-M*G/(R+h) ≤  M*G/(R+h) * ¹/₂

M*G/R ≤  M*G/(R+h) * ³/₂

1/R ≤  1/(R+h) * ³/₂

R ≥  (R+h) * ²/₃

3R ≥  2(R+h)

R ≥  2h

h ≤ R/2 - это  ответ

Answer 2

Для нахождения максимальной высоты ядра над поверхностью Луны, можно воспользоваться уравнением движения тела под действием гравитации:

$H = \frac{V_i^2 \cdot \sin^2(\theta)}{2g},$

где:

• $H$ - максимальная высота над поверхностью Луны,
• $V_i$ - начальная скорость ядра,
• $\theta$ - угол под которым ядро было выпущено (в радианах),
• $g$ - ускорение свободного падения на поверхности Луны.

Первым делом, нужно учесть, что ускорение свободного падения на Луне $g$ составляет около 1,625 м/с².

У нас уже есть значение угла $\theta = 45°$, но его нужно перевести в радианы. Для этого воспользуемся формулой:

$\text{Угол в радианах} = \text{Угол в градусах} \times \frac{\pi}{180}.$

$\theta = 45° \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4} \text{ радиан}.$

Теперь нам нужно найти начальную скорость $V_i$. Мы знаем, что ядро упало на южный полюс Луны, что означает, что вертикальная компонента скорости $V_{iy}$ при падении равна нулю, и у нас есть только горизонтальная компонента скорости $V_{ix}$.

Используем следующее уравнение для горизонтальной компоненты скорости при равномерном движении:

$V_{ix} = \frac{d}{t},$

где:

• $d$ - расстояние между пушкой и местом падения ядра (половина диаметра Луны),
• $t$ - время полета.

Теперь нам нужно найти время полета. Мы можем воспользоваться вертикальным уравнением движения:

$H = \frac{V_{iy}^2}{2g},$

где $H$ - максимальная высота над поверхностью Луны, а $V_{iy}$ равно нулю.

Мы можем решить это уравнение для времени $t$:

$t = \sqrt{\frac{2H}{g}}.$

Теперь, зная время полета $t$, мы можем найти горизонтальную компоненту скорости $V_{ix}$.

После того как мы найдем $V_i$ и угол $\theta$ в радианах, мы сможем использовать формулу для максимальной высоты $H$.

Таким образом, вычислим:

1. $\theta = \frac{\pi}{4}$ радиан.
2. $g = 1.625 \, \text{м/с²}$.
3. $H = ?$.

Сначала найдем $t$:

$t = \sqrt{\frac{2H}{g}}.$

Теперь найдем $V_{ix}$:

$V_{ix} = \frac{d}{t},$

где $d$ - половина диаметра Луны, а $t$ мы уже нашли.

Наконец, найдем $V_i$:

$V_i = \frac{V_{ix}}{\cos(\theta)}.$

Теперь у нас есть $V_i$ и $\theta$ в радианах, и мы можем найти максимальную высоту $H$:

$H = \frac{V_i^2 \cdot \sin^2(\theta)}{2g}.$

Вычислим $H$:

$H = \frac{\left(\frac{d}{t \cdot \cos(\theta)}\right)^2 \cdot \sin^2(\theta)}{2g}.$

Вставляем известные значения и решаем уравнение. Помните, что $d$ равно радиусу Луны:

$d = \frac{3474.8 \, \text{км}}{2} = 1737.4 \, \text{км} = 1737400 \, \text{м}.$

Теперь рассчитаем 0 0