Question

Человек массой m1=45 кг, стоящий на одном конце первоначально покоящейся тележки массой m2=160 кг и длиной l=3,5 м, прыгает со скоростью 5,5 м/с относительно земли под углом к горизонту и попадает на другой конец тележки. Массу колес, а также силу сопротивления движению тележки не учитывать. Определить угол a. Нужно подробное решение и желательно формулы.

Answer 1

Ответ:

<a = 27,7°

Объяснение:

V1x*m1 - V2x*m2 = 0

V2x = V1x*m1/m2

t2 = L/V2x; t1 = V1y/g --> t2 =2t1 --> L/V2x = 2V1y/g --> L/V2x = 2V1sin(a)/g -->

--> L/(V1x*m1/m2) = 2V1sin(a)/g --> L/(V1cos(a)*m1/m2) = 2V1sin(a)/g -->

--> gL/(2V1^2*m1/m2) = sin(a)cos(a) -->  gL/(2V1^2*m1/m2) = sin(2a)/2 -->

-->  sin(2a) = gL/(V1^2*m1/m2) = 10*3,5/(5,5^2*45/160) = 0,8228

<a  = arcsin(0,8228)/2 = 27,7°

Answer 2

Для решения этой задачи о динамике системы тележки и человека, нужно воспользоваться законами сохранения импульса и момента импульса.

Для начала определим начальное состояние системы. По закону сохранения импульса:

1. Импульс системы до прыжка равен импульсу системы после прыжка.
2. Импульс человека до прыжка равен массе человека умноженной на его начальную скорость.

Импульс человека до прыжка: $P_{m1\_initial} = m_1 \cdot v_{m1\_initial} = 45\, \text{кг} \cdot 0\, \text{м/с} = 0\, \text{кг} \cdot \text{м/с}$

Теперь, когда человек прыгнул на тележку, его импульс изменится, и мы должны найти его импульс после прыжка. Чтобы это сделать, нужно разложить начальную скорость прыжка человека на горизонтальную и вертикальную составляющие:

$v_{m1\_horizontal\_initial} = v_{m1\_initial} \cdot \cos(\theta) = 0\, \text{м/с} \cdot \cos(\theta) = 0\, \text{м/с}$

$v_{m1\_vertical\_initial} = v_{m1\_initial} \cdot \sin(\theta) = 5.5\, \text{м/с} \cdot \sin(\theta)$

Импульс человека после прыжка:

$P_{m1\_final} = m_1 \cdot v_{m1\_final} = m_1 \cdot (v_{m1\_horizontal\_initial} + v_{m1\_vertical\_initial})$

С учетом того, что $v_{m1\_horizontal\_initial} = 0$:

$P_{m1\_final} = m_1 \cdot (0 + 5.5\, \text{м/с} \cdot \sin(\theta)) = 5.5\,m_1\,\text{м/с} \cdot \sin(\theta)$

Теперь, давайте рассмотрим тележку. Импульс тележки до прыжка равен нулю, так как она начинает движение с покоя. Импульс тележки после прыжка будет равен:

$P_{m2\_final} = m_2 \cdot v_{m2\_final}$

Где $v_{m2\_final}$ - скорость тележки после прыжка, которую мы хотим найти.

Согласно закону сохранения импульса, импульс системы до прыжка равен импульсу системы после прыжка:

$P_{m1\_initial} + P_{m2\_initial} = P_{m1\_final} + P_{m2\_final}$

Поскольку $P_{m1\_initial} = 0$ и $P_{m2\_initial} = 0$:

$0 = 5.5\,m_1\,\text{м/с} \cdot \sin(\theta) + m_2 \cdot v_{m2\_final}$

Теперь, найдем выражение для скорости тележки $v_{m2\_final}$. Для этого мы можем использовать закон сохранения момента импульса относительно точки, находящейся на одном из концов тележки (где человек прыгнул):

$L_{initial} = L_{final}$

Момент импульса до прыжка:

$L_{m2\_initial} = r_{initial} \cdot P_{m2\_initial} = 0$

Где $r_{initial}$ - расстояние от точки отсчета до центра масс тележки (половина длины тележки):

$r_{initial} = \frac{l}{2} = \frac{3.5\,м}{2} = 1.75\,м$