Question

4.3.1. Насосная станция города поддерживает в водопроводе на уровне пер- вого этажа давление 5 атм. Определите (пренебрегая трением при течении жид-кости) скорость струи воды, вытекающей из крана на первом, втором и третьемэтажах, если краны каждого последующего этажа расположены на 4 м вышекранов предыдущего. На какой этаж вода по водопроводу уже не поднимется?Бажано пояснення на українській, але може бути також і на російській.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Формула Торричелли утверждает, что скорость v истечения идеальной жидкости через отверстие в тонкой стенке, находящееся в ёмкости на глубине h от поверхности, такая же, как и у тела, свободно падающего с высоты h, то есть

 v=√2gh

где: g — ускорение свободного падения.

h-высота столба жидкости.

Давление жидкости 1 атмосфера соответствует высоте столба жидкости 10м.

Значит давление 5 атм=50м столба жидкости.

Скорость на первом этаже будет равна:

V1=√2*10*50=√1000=31,6м/с

На втором этаже высота водяного столба уменьшится и будет равна: 50-4=46м

V2=√2*10*46=√920=30,3м/с

На третьем этаже высота столба жидкости будет равна: 50-8=42м

V3=√2*10*42=√840=29м/с

Высота столба на 12 этаже будет равна: 50-48=2м

Скорость воды на 12 этаже будет равна: V12=√2*10*2=√40=6,3м/с

На 13 этаж вода не поднимется, потому что высота крана будет равна 52м, максимальная высота подъема воды 50м

Answer 2

Для решения данной задачи используем уравнение Бернулли, которое описывает сохранение энергии в течении жидкости:

$P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = const.$

Где:

• $P$ - давление воды,
• $\rho$ - плотность воды,
• $v$ - скорость потока воды,
• $g$ - ускорение свободного падения (приближенно 9.8 м/с²),
• $h$ - высота уровня воды над точкой, где мы измеряем давление.

Сначала рассмотрим первый этаж. Уровень воды на этом этаже поддерживается давлением 5 атмосфер (атмосферическое давление приблизительно равно 1 атмосфере), таким образом, $P = 5 \times 1 \text{ атм} = 5 \times 101.3 \text{ кПа}$.

Теперь у нас есть всё необходимое для определения скорости потока воды на первом этаже. Уровень воды на первом этаже равен нулю метров (так как там находится насосная станция), поэтому $h = 0$.

Теперь мы можем решить уравнение Бернулли для первого этажа:

$5 \times 101.3 \text{ кПа} + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = 0,$

где $v_1$ - скорость струи на первом этаже.

Мы знаем, что $P = \rho gh$, так что можем переписать уравнение:

$5 \times 101.3 \text{ кПа} = \frac{1}{2} \rho v_1^2.$

Теперь решим это уравнение для $v_1$:

$v_1 = \sqrt{\frac{2 \times 5 \times 101.3 \text{ кПа}}{\rho}}.$

Мы знаем, что плотность воды приближенно равна 1000 кг/м³. Переведем кПа в Па (1 кПа = 1000 Па):

$v_1 = \sqrt{\frac{2 \times 5 \times 1013000 \text{ Па}}{1000 \text{ кг/м³}}}$

Теперь рассчитаем $v_1$:

$v_1 = \sqrt{2 \times 5 \times 1013000 \text{ м²/с²}} = \sqrt{10130000 \text{ м²/с²}} = 3181.98 \text{ м/с}.$

Теперь у нас есть скорость струи на первом этаже.

Для остальных этажей, мы можем использовать тот факт, что уровни кранов каждого следующего этажа находятся на 4 м выше предыдущего. Это означает, что уровень воды на каждом следующем этаже увеличивается на 4 м по сравнению с предыдущим этажом.

Мы можем применить уравнение Бернулли для каждого этажа, чтобы найти скорость струи воды:

На втором этаже: $h = 4$ м, остальные параметры такие же, как на первом этаже. $P = 5 \times 101.3 \text{ кПа} + \rho \cdot 9.8 \text{ м/с²} \cdot 4 \text{ м}.$

На третьем этаже: $h = 8$ м, остальные параметры такие же, как на первом этаже. $P = 5 \times 101.3 \text{ кПа} + \rho \cdot 9.8 \text{ м/с²} \cdot 8 \text{ м}.$

Вычисляем $P$ для второго и третьего этажа и используем их в уравнении Бернулли для определения скоростей струи на этих этажах, как это было сделано для первого этажа.

Чтобы определить, на каком этаже вода уже не поднимется, мы можем использовать уравнение $P = \rho gh$. На каждом этаже, давление будет увеличиваться на $\rho \cdot 9.8 \text{ м/с²} \cdot 4 \text{ м}$. Таким образом, вода поднимется до тех пор, пока давление водопровода будет достаточно, чтобы преодолеть гравитацию на данной высоте. Как только давление станет недостаточным, вода не будет подниматься.

Таким образом, вода не поднимется на том этаже, на котором давление водопровода станет равным давлению внешней атмосферы (1 атмосфера или 101.3 кПа).