Question

При подводных работах раньше применялся так называемый кессон("подводный колокол") - резервуар, в который по шлангу подавался воздух, вытесняющий воду. Определите время, которое необходимо для вытеснения воды из кессона, опущенного на глубину H=20м. Кессон представляет собой куб с ребром l=2м. Объем воздуха, который компрессор забирает из атмосферы ( = 10^5Па), = 1 м^3/мин.

Answer 1

Дано:

H = 20 м

L = 2 м

p0 = 10⁵ Па

υ = 1 м³/мин

ρ = 1,29 кг/м³

ρ_в = 1000 кг/м³

M = 0,029 кг/моль

R = 8,31 Дж/(моль*К)

Т = 0 °С = 273 К

g = 10 H/кг

t - ?

Решение:

Очевидно, что давление, которое оказывает на воду закачанный в кессон воздух, должно быть равным тому давлению, которое оказывает на воздух вода на глубине Η. Это давление равно сумме гидростатического и атмосферного:

р = ρ_в*gH + p0

Над водой давление воздуха равно атмосферному. Компрессор берёт именно этот воздух. А т.к. давление атмосферы меньше требуемого, то и плотность воздуха над водой меньше. Это вытекает из уравнения состояния газа:

рV = (m/M)RT - представим массу как произведение плотности и объёма:

pV = (ρV/M)RT | : V

p = ρ*(RT/M) - давление прямо пропорционально плотности

Значит, плотность воздуха в кессоне должна быть больше, чем плотность воздуха над водой. Ну а если плотность должна быть больше, то больше должна быть и масса. Считаем, что воздух над водой, при закачке в кессон и после находится при температуре 0 °С (273 К). Выразим плотность воздуха ρ', который заполняет кессон так, что вода оказывает на воздух давление на глубине Н:

р = ρ'*(RT/M)

p = ρ_в*gH + p0 =>

=> ρ'*(RT/M) = ρ_в*gH + p0 =>

=> ρ' = (ρ_в*gH + p0)/(RT/M)

ρ' = (ρ_в*gH + p0)*(М/(RT))

Теперь домножим на объём кессона и получим массу:

V = L³

m = ρ'*V = ρ'*L³ = (ρ_в*gH + p0)*(L³М/(RT))

Эта масса гораздо больше той, которую имеет воздух плотностью 1,29 кг/м³ в объёме кессона. А компрессор, вспомним, качает воздух именно такой плотности. Поэтому агрегат должен переместить куда больше кубометров, чем кажется на первый взгляд. А именно:

V' = m/ρ = (ρ_в*gH + p0)*(L³М/(ρRT))

Полностью заполненный объём кессона равен произведению скорости компрессора и времени:

V' = υ*t, тогда затраченное время равно:

t = V'/υ = [(ρ_в*gH + p0)*(L³М/(ρRT))] / υ = [(1000*10*20 + 10⁵)*(2³*0,029/(1,29*8,31*273))] / 1 = 23,78... = 24 минуты

Нужный объём почти в 3 раза больше, чем объём самого кессона. Скорость и время пропорциональны объёму. Т.к. скорость является константой, то при увеличении объёма почти в 3 раза время увеличивается соответствующе - почти в 3 раза. Всё это исходит из того, что плотность воздуха в кессоне при нужном давлении примерно в 3 раза больше плотности атмосферного:

ρ' = (ρ_в*gH + p0)*(М/(RT)) = (1000*10*20 + 10⁵)*(0,029/(8,31*273)) = 3,83... = 3,8 кг/м³

ρ'/ρ = 3,8/1,29 = 2,94... = 3

Ответ: примерно 24 минуты.

Answer 2

Для определения времени, необходимого для вытеснения воды из кессона, нужно рассмотреть, сколько времени потребуется для заполнения объема кессона воздухом, а затем вытеснения воды.

Сначала найдем объем кессона. Кессон представляет собой куб с ребром l=2 м, что означает, что его объем:

V_кессона = l^3 = 2 м * 2 м * 2 м = 8 м^3.

Теперь мы знаем объем кессона, и нам нужно вычислить, сколько времени потребуется для заполнения этого объема воздухом.

Данные: Давление в атмосфере P_атм = 10^5 Па. Производительность компрессора Q = 1 м^3/мин = 1/60 м^3/сек.

Для вычисления времени t, которое потребуется для заполнения кессона воздухом, используем уравнение состояния газа:

PV = nRT,

где P - давление, V - объем, n - количество вещества, R - универсальная газовая постоянная, T - температура.

Мы можем переписать это уравнение как:

P_атм * V_кессона = nRT,

где n - количество воздуха, которое нужно ввести в кессон, R - универсальная газовая постоянная, T - температура воздуха.

Мы ищем время t, поэтому можем переписать это уравнение как:

V_кессона = (Q * t) / P_атм.

Теперь мы можем выразить время t:

t = (V_кессона * P_атм) / Q.

Подставим известные значения:

t = (8 м^3 * 10^5 Па) / (1/60 м^3/сек) = (8 м^3 * 10^5 Па) / (1/60 м^3/сек) = 4800 сек.

Теперь, чтобы получить время в минутах, поделим на 60:

t = 4800 сек / 60 = 80 минут.

Таким образом, необходимо 80 минут для заполнения кессона воздухом.