Question

Задачи для самостоятельного решения 1. Движения двух материальных точек описываются следующими уравнениями: x, = 20 + 5t - 4t2 и х, = 2 + 2t + 0,5t2. В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент? (Ответ: 0,33 с; 2,33 м/с; a1=-8 м/с ; a2=1 м/с ).

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Уравнения движения тел:

x₁ = 20 + 5·t - 4·t²

x₂ = 2 + 2·t + 0,5·t²

Скорость - первая производная от координаты:

V₁(t) = x₁' = 5 - 8·t

V₂(t) = x₂' = 2 + t

Ускорение - первая производная от скорости:

a₁(t) = V₁' = - 8 м/с²

a₂(t) = V₂' = 1 м/с²

Приравняем скорости:

5 - 8·t = 2 + t

9·t = 3

t = 0,33 с

V(0,33) =  2 + 0,33 = 2,33 м/с

Answer 2

Для начала найдем мгновенные скорости точек. Для первой точки, используя уравнение x = 20 + 5t - 4t^2, найдем ее скорость, взяв производную по времени:

v1 = dx/dt = 5 - 8t

Аналогично, для второй точки, используя уравнение x = 2 + 2t + 0.5t^2, найдем ее скорость:

v2 = dx/dt = 2 + 2t

Чтобы найти момент времени, когда скорости точек будут одинаковыми, приравняем v1 и v2:

5 - 8t = 2 + 2t

Решим это уравнение:

10t = 3 t = 0.3 секунды

Таким образом, скорости точек будут одинаковыми через 0.3 секунды.

Для нахождения скоростей и ускорений точек в этот момент, подставим значение t = 0.3 в уравнения для v1 и v2:

v1 = 5 - 8(0.3) = 5 - 2.4 = 2.6 м/с v2 = 2 + 2(0.3) = 2 + 0.6 = 2.6 м/с

Таким образом, скорости точек в этот момент равны 2.6 м/с.

Теперь найдем ускорения. Для первой точки, используя уравнение a1 = dv1/dt, найдем ее ускорение:

a1 = -8 м/с^2

Для второй точки, используя уравнение a2 = dv2/dt, найдем ее ускорение:

a2 = 2 м/с^2

Таким образом, ускорения точек в этот момент равны a1 = -8 м/с^2 и a2 = 2 м/с^2.

Итак, в момент времени 0.3 секунды скорости точек будут одинаковыми и равны 2.6 м/с. Ускорение первой точки равно -8 м/с^2, а ускорение второй точки равно 2 м/с^2.