Question

Две небольшие одинаковые шайбы массой m каждая, связаны нерастяжимой нитью длины l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости шайб перпендикулярны нити, противонаправлены и равны соответственно 2v и 4v. Найдите величину F силы натяжения нити.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Систему отсчета свяжем с одной из шайб.

Масса системы:

m' = m + m = 2m

Относительная скорость:

V' = (4V - 2 V) = 2V

Ускорение:

a' = (V')² / L = 4·V²/L

Натяжение нити:

T = m'·(g - a')

T = 2m·(g - 4·V²/L)

Answer 2

Давайте обозначим через \( \vec{v}_1 \) и \( \vec{v}_2 \) скорости первой и второй шайб в некоторый момент времени. Также обозначим через \( \vec{F}_1 \) и \( \vec{F}_2 \) силы, действующие на каждую из шайб.

Для первой шайбы: \[ \vec{F}_1 = m \vec{a}_1 \] Для второй шайбы: \[ \vec{F}_2 = m \vec{a}_2 \]

Так как шайбы связаны нерастяжимой нитью, их ускорения направлены вдоль нити. Таким образом, ускорения шайб \( \vec{a}_1 \) и \( \vec{a}_2 \) также направлены вдоль нити.

Также из условия задачи известно, что скорости шайб перпендикулярны нити. Таким образом, проекции ускорений на нить будут равны нулю. Пусть \( a \) - ускорение шайбы, направленное вдоль нити.

\[ \vec{a}_1 = a \hat{u} \] \[ \vec{a}_2 = -a \hat{u} \]

Теперь мы можем записать уравнения для ускорений: \[ \vec{a}_1 = \frac{\Delta \vec{v}_1}{\Delta t} \] \[ \vec{a}_2 = \frac{\Delta \vec{v}_2}{\Delta t} \]

Из условия задачи известны значения скоростей \( \vec{v}_1 \) и \( \vec{v}_2 \): \[ \vec{v}_1 = 2v \hat{v} \] \[ \vec{v}_2 = -4v \hat{v} \]

Таким образом, ускорения будут: \[ \vec{a}_1 = \frac{2v}{\Delta t} \hat{u} \] \[ \vec{a}_2 = \frac{-4v}{\Delta t} \hat{u} \]

Теперь, учитывая, что силы равны массе, умноженной на ускорение, можем записать: \[ \vec{F}_1 = m \vec{a}_1 = 2m \frac{v}{\Delta t} \hat{u} \] \[ \vec{F}_2 = m \vec{a}_2 = -4m \frac{v}{\Delta t} \hat{u} \]

Теперь рассмотрим систему в целом. Сумма сил равна силе натяжения нити: \[ \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \vec{F} \]

Подставим выражения для сил: \[ 2m \frac{v}{\Delta t} \hat{u} - 4m \frac{v}{\Delta t} \hat{u} = \vec{F} \]

Сократим \( m \frac{v}{\Delta t} \) и упростим: \[ -2 \hat{u} = \vec{F} \]

Таким образом, величина силы натяжения нити равна \( F = 2m \frac{v}{\Delta t} \).