Question

Решите пожалуйста 1)Математический маятник длиной 3 м совершает колебания с амплитудой 5 см. Напишите уравнение движения x = x(t)2)Груз, подвешенный на пружине с коэффициентом жесткости 50 Н/м, совершает колебания.Определите массу груза, если за 1 мин. он делает 60 колебаний.

Answer 1

Ответ: 1)

l=3m

A=0,05m

x=x(t)

x=Acos(ωt)

T=2π√l/g

ω=2π/T=2π/2π×√l/g=√l/g=√9,8/3≈1,81рад/с

x=0,05cos(1,81t)

u=x¹=(Acos(ωt))¹=A(sin(ωt))=Aωsin(ωt)

u(max)=Aω=A√g/l=0,05×(9,8/3)≈0,09 m/c

a(max)=Aω²=A×(√g/l)²=A×g/l=0,05×9,8/3≈0,163 m/c²

Answer 2

Для решения задачи по математическому маятнику, можно использовать уравнение гармонического осциллятора. Уравнение движения математического маятника выглядит следующим образом:

\[ x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi) \]

где: - \( x(t) \) - координата маятника в момент времени \( t \), - \( A \) - амплитуда колебаний, - \( \omega \) - угловая частота колебаний, - \( \phi \) - начальная фаза.

Для математического маятника угловая частота \(\omega\) связана с периодом \(T\) следующим образом:

\[ \omega = \frac{2\pi}{T} \]

где \( T \) - период колебаний.

В задаче дана амплитуда \(A = 5 \, \text{см} = 0.05 \, \text{м}\) и длина маятника \(L = 3 \, \text{м}\). Период колебаний можно выразить через длину маятника и ускорение свободного падения \(g\):

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]

Следовательно, угловая частота:

\[ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}} = \sqrt{\frac{g}{L}} \]

Таким образом, уравнение движения математического маятника:

\[ x(t) = 0.05 \cos\left(\sqrt{\frac{g}{L}} \cdot t + \phi\right) \]

Для уточнения начальной фазы и определения положения в какой-то конкретный момент времени, требуется дополнительная информация.

Теперь рассмотрим вторую задачу о грузе на пружине. Для пружинного осциллятора уравнение движения имеет вид:

\[ m \cdot a = -k \cdot x \]

где: - \( m \) - масса груза, - \( a \) - ускорение, - \( k \) - коэффициент жесткости пружины, - \( x \) - смещение от положения равновесия.

Также, угловая частота пружинного осциллятора связана с массой и коэффициентом жесткости следующим образом:

\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \]

Из условия задачи известно, что за 1 минуту груз совершает 60 колебаний. Период колебаний \( T \) связан с угловой частотой следующим образом:

\[ T = \frac{2\pi}{\omega} \]

Таким образом,

\[ \omega = \frac{2\pi}{T} \]

Известно, что за 1 минуту \( T = 60 \) секунд. Теперь можно найти угловую частоту и подставить её в уравнение для \(\omega\):

\[ \omega = \frac{2\pi}{60} \]

Подставим это значение в уравнение для угловой частоты:

\[ \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{2\pi}{60} \]

С помощью этого уравнения можно выразить массу \(m\). Однако, для полного решения задачи необходимо также знать коэффициент жесткости пружины \(k\). Если он известен, можно вычислить массу \(m\).