Question

При измерении активного сопротивления резистора были произведены десять равноточных измерений, результаты которых приведены в таблице. Оцените максимальную и относительную погрешности и запишите результат измерения для доверительных вероятностей 0,95 и 0,99. 8.243 8.248 8.244 8.249 8.247 8.242 8.244 8.248 8.247 8.243

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Задачи по "Математической статистике" лучше всего выполнять при помощи Excel.

1)

Заносим данные в столбец B, назвав его "Не ранжировнный ряд".

В столбец С - индексы i от 1 до 10.

Автоматически сортируем данные по возрастанию (столбец  D). Назовем его "Ранжированный ряд Xi. Ранжированный - значит упорядоченный.

2)

В нижнюю таблицу помещаем сумму элементов Xi (Excel, конечно, подсчитает по формуле СУММ)

∑ Xi = 82,455

Находим среднее значение сопротивления:

Xcp = ∑ Xi / n = 82,455 / 10 ≈ 8,246

3)

Вернемся к верхней таблице.

В столбце Е находим модуль абсолютной ошибки:

ΔXi = Xi - Xcp

Сразу получили максимальную погрешность:

Δmax = 0,004

Относительная погрешность:

ε = Δmax / Xcp = 0,004 / 8,286 ≈ 0,0005

4)

Теперь найдем результат измерения сопротивления для доверительной вероятности γ = 0,95.

Для этого опять будем работать в верхней  таблице.

В столбце D  - квадраты относительных погрешностей.

Суммируем:

Σ (ΔXi)² = 0,0000610

Находим дисперсию:

D = Σ (ΔXi)² / n = 0,0000061

Находим квадратическое отклонение:

σ = √ (D) = √ (0,0000061) ≈ 0,0027

Из справочника находим tγ при n=10 и γ = 0,95

tγ = 1,96

И тогда находим  погрешность измерений сопротивления:

δ = tγ·σ / √(n) = 0,0015

Результат:

8,246 - 0,0015 < R < 8,246 + 0,0015

Аналогично и при γ = 0,99 по этому алгоритму решить задачу...

Answer 2

Для оценки погрешности измерений активного сопротивления резистора можно воспользоваться статистическими методами. Первоначально вычислим среднее значение измерений, а затем определим стандартное отклонение и среднеквадратичную ошибку среднего.

Имеем измерения: \[8.243, 8.248, 8.244, 8.249, 8.247, 8.242, 8.244, 8.248, 8.247, 8.243\]

Среднее значение: \[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]

Стандартное отклонение: \[ s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{X})^2} \]

Где \(n\) - количество измерений (в данном случае \(n = 10\)).

Среднеквадратичная ошибка среднего: \[ SEM = \frac{s}{\sqrt{n}} \]

Теперь, используя данные значения, мы можем определить максимальную погрешность измерения для заданных доверительных вероятностей.

1. Для доверительной вероятности 0.95 (уровень значимости 0.05): - Значение \(t_{0.05/2}\) для 9 степеней свободы (так как \(n-1 = 9\)) можно найти в таблице распределения Стьюдента. Приблизительно \(t_{0.05/2} \approx 2.262\). - Максимальная погрешность: \(E = t_{0.05/2} \times SEM\)

2. Для доверительной вероятности 0.99 (уровень значимости 0.01): - Значение \(t_{0.01/2}\) для 9 степеней свободы: \(t_{0.01/2} \approx 3.250\). - Максимальная погрешность: \(E = t_{0.01/2} \times SEM\)

Рассчитаем:

\[SEM = \frac{s}{\sqrt{10}}\]

\[SEM = \frac{\sqrt{\frac{1}{9} \sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{X})^2}}{\sqrt{10}}\]

\[SEM \approx \frac{0.0022}{\sqrt{10}} \approx 0.0007\]

1. Для доверительной вероятности 0.95: - \(E \approx 2.262 \times 0.0007 \approx 0.0016\)

2. Для доверительной вероятности 0.99: - \(E \approx 3.250 \times 0.0007 \approx 0.0023\)

Теперь мы можем выразить результат измерения с учетом погрешности:

1. Для доверительной вероятности 0.95: - Результат измерения: \(\bar{X} \pm E = 8.244 \pm 0.0016\)

2. Для доверительной вероятности 0.99: - Результат измерения: \(\bar{X} \pm E = 8.244 \pm 0.0023\)