Question

Деталь составлена из двух частей, состоящих из разного материала. В результате нагрева обе части расширились так, что объём первой части увеличился на 5%, объём второй — на 2%, а средняя плотность всей детали уменьшилась на 3%. Найдите отношение объёмов первой и второй части до нагревани

Answer 1

Ответ:

0,57

Объяснение:

$V_1, V_2, P$ - объемы частей детали и ее средняя плотность, тогда:

$\frac{m}{V_{1}+V_{2}}=P$                      - до нагрева

$\frac{m}{1,05V_{1}+1,02V_{2}} =0,97P$    -  после нагрева

разделим первое уравнение на второе и получим:

$\frac{m(1,05V_{1}+1,02V_{2})}{m(V_{1}+V_{2})}=\frac{P}{0,97P}$

$0,97(1,05V_{1}+1,02V_{2})=V_{1}+V_{2}$

$0,0185V_{1}=0,0106V_{2}$

$\frac{V_{1}}{V_{2}}=0,57$

Answer 2

Пусть \( V_1 \) и \( V_2 \) - объемы первой и второй частей соответственно до нагревания, \( \rho_1 \) и \( \rho_2 \) - плотности материалов первой и второй частей соответственно, \( \Delta V_1 \) и \( \Delta V_2 \) - изменения объемов после нагревания.

Из условия задачи мы знаем, что:

1. Объем первой части увеличился на 5%: \( \Delta V_1 = 0.05 \cdot V_1 \) 2. Объем второй части увеличился на 2%: \( \Delta V_2 = 0.02 \cdot V_2 \) 3. Средняя плотность уменьшилась на 3%: \( \frac{{\rho_1 \cdot V_1 + \rho_2 \cdot V_2}}{{V_1 + V_2}} = 0.97 \cdot \frac{{\rho_1 \cdot V_1 + \rho_2 \cdot V_2}}{{V_1 + V_2}} \)

Теперь мы можем записать уравнения для объемов после нагревания:

\[ V_1' = V_1 + \Delta V_1 = V_1 + 0.05 \cdot V_1 = 1.05 \cdot V_1 \] \[ V_2' = V_2 + \Delta V_2 = V_2 + 0.02 \cdot V_2 = 1.02 \cdot V_2 \]

Также мы можем записать уравнение для изменения средней плотности:

\[ \frac{{\rho_1 \cdot V_1' + \rho_2 \cdot V_2'}}{{V_1' + V_2'}} = 0.97 \cdot \frac{{\rho_1 \cdot V_1 + \rho_2 \cdot V_2}}{{V_1 + V_2}} \]

Подставим выражения для \( V_1' \) и \( V_2' \):

\[ \frac{{\rho_1 \cdot 1.05 \cdot V_1 + \rho_2 \cdot 1.02 \cdot V_2}}{{1.05 \cdot V_1 + 1.02 \cdot V_2}} = 0.97 \cdot \frac{{\rho_1 \cdot V_1 + \rho_2 \cdot V_2}}{{V_1 + V_2}} \]

Решив это уравнение, мы сможем найти отношение объемов первой и второй частей до нагревания \( \frac{{V_1}}{{V_2}} \).