Question

Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l. Найти вероятность того, что электрон, находящийся в возбуждённом состоянии (n = 5), находится в центре ямы в интервале шириной 0,01l.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Дано:

L

n = 5

Δx = 0,01·L

______________

W - ?

1)

Находим начало интервала:

x₁ = (L - ΔL)/2 = (L - 0,01·L)/2 = 0,495·L

Находим конец интервала:

x₂= (L + ΔL)/2 = (L + 0,01·L)/2 = 0,505·L

2)

Искомая вероятность:

$\int\limits^ {x1} _{x2} \ |\Psi_n(x)|^2 dx$

Нормированная собственная волновая функция:

$\Psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L} } \cdot sin\frac{\pi n}{L} ~ x$

При n = 5:

$\Psi_5(x)=\sqrt{\frac{2}{L} } \cdot sin\frac{5\pi }{L} ~ x$

И тогда:

$W = \frac{2}{L} \int\limits^ {0,505L} _{0,495L} \sin^2(\frac{5\pi}{L} ) dx$

Вычислив данный интеграл, окончательно получаем:

W = 0,005·L

Answer 2

Для нахождения вероятности того, что электрон находится в возбужденном состоянии (n = 5) в центре ямы в интервале шириной 0,01l, можно использовать формулу для вероятности нахождения частицы в определенной области пространства в квантовой механике.

В данном случае, вероятность P можно найти из выражения:

P = |Ψ(x)|^2 dx,

где Ψ(x) - волновая функция электрона, а dx - элемент длины в пространстве.

Для одномерной прямоугольной потенциальной ямы в возбужденном состоянии (n = 5) волновая функция электрона имеет вид:

Ψ(x) = sqrt(2/l) * sin((5πx)/l),

где l - ширина ямы.

Теперь, чтобы найти вероятность нахождения электрона в центре ямы в интервале шириной 0,01l, нужно проинтегрировать квадрат модуля волновой функции в этом интервале:

P = ∫(0.495l to 0.505l) |Ψ(x)|^2 dx.

После выполнения вычислений можно получить значение вероятности нахождения электрона в указанном интервале.