Question

Докажите ,что функция F являеться первообразной для функции f на R : f(x)=sin2x+3 , F(x) =(- cos2x:2)+3x

Answer 1

Для того, чтобы функция F(x) была первообразной для f(x) необходимо, чтобы выполнялось условие F'(x)=f(x).
Найдем F'(x)
F'(x)=-½*(-sin2x)*(2x)'+3=½sin2x*2+3=sin2x+3=f(x)→функция F(x) является первообразной для f(x)

Answer 2

Для того, чтобы доказать, что функция F является первообразной для функции f на R, нужно показать, что производная F равна f. То есть, нужно проверить, что F'(x) = f(x) для всех x из R. Для этого воспользуемся правилами дифференцирования:

F'(x) = (-cos2x/2)' + (3x)' = (sin2x/2) * (2x)' + 3 = sin2x + 3 = f(x).

Здесь мы использовали цепное правило и производную константы. Таким образом, мы доказали, что F является первообразной для f на R. Если вы хотите узнать больше о понятии первообразной и свойствах интегралов, вы можете посмотреть [эту статью](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%8F) или [этот ответ](https://uchi.ru/otvety/questions/dokazhite-chto-f-yavlyaetsya-pervoobraznoy-dlya-funktsii-f-na-r-f-x-2x-3-f-x-x2-3x-1).