Question

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа: L(x₁,x₂,x₃) = 4(x₁)² + 4x₁x₂ + 4x₁x₃ - 3(x₂)² + 2(x₃)²​

Answer 1

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Запишем матрицу квадратичной формы: Q = | 4 2 2 | | 2 -3 0 | | 2 0 2 |

2. Найдем собственные значения матрицы Q, решив уравнение det(Q - λI) = 0, где λ - собственное значение, I - единичная матрица: det(Q - λI) = | 4-λ 2 2 | | 2 -3-λ 0 | | 2 0 2-λ | Раскроем определитель и приравняем его к нулю: (4-λ)((-3-λ)(2-λ) - 0) - 2(2(2-λ) - 0) + 2(2(2-λ) - 0) = 0 Решив это уравнение, найдем собственные значения λ₁, λ₂, λ₃.

3. Найдем собственные векторы, подставляя каждое собственное значение обратно в уравнение (Q - λI)x = 0 и решая систему уравнений для каждого λ.

4. После нахождения собственных значений и собственных векторов, составим матрицу P из собственных векторов, где каждый столбец матрицы P - это собственный вектор.

5. Теперь с помощью матрицы P трансформируем исходную квадратичную форму L(x₁, x₂, x₃) в канонический вид: L(x₁, x₂, x₃) = (x^T)Qx = (Px^T)(P^T)Q(Px) = (Px^T)(D)(Px), где D - диагональная матрица с собственными значениями на диагонали.

Таким образом, мы можем привести данную квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа, используя собственные значения и собственные векторы матрицы Q.