Question

Определи косинус ∡B треугольника KBN, если даны координаты вершин треугольника: K(1;0;−2); B(0;2;0); N(−3;0;6). Ответ: cos∡B=

Answer 1

Ответ:

$-\dfrac{11}{21} .$

Пошаговое объяснение:

Угол В в треугольнике KВN- это угол между векторами

$\vec{BK }$ и  $\vec {BN}$

Найдем координаты каждого  вектора. Для этого надо от координат конца вектора отнять координаты начала вектора.

$B( 0;2;0)\\K(1;0;-2)\\\vec{BK} ( 1;-2;-2)$

$B( 0;2;0)\\N(-3;0;6)\\\vec{BN} ( -3;-2;6)$

Найдем косинус угла вежду векторами, воспользовавшись формулой

$\vec a(x{_1};y{_1};z{_1});\\\vec b(x{_2};y{_2};z{_2})\\cos(\vec a;\vec b) = \dfrac{x{_1}\cdot x{_2} +y{_1}\cdot y{_2}+z{_1}\cdot z{_2}}{\sqrt{x{_1}^{2} +y{_1}^{2}+z{_1}^{2}}\cdot \sqrt{x{_2}^{2}+y{_2}^{2}+z{_2}^{2}} }$

Пусть угол между векторами $\vec{BK }$ и $\vec {BN}$ будет $\alpha$. Тогда

$cos \alpha = \dfrac{1\cdot(-3)+(-2)\cdot(-2)+(-2)\cdot6}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+(-2)^{2} \cdot \sqrt{(-3)^{2} +(-2)^{2} +6^{2} } } } =\dfrac{-3+4-12}{\sqrt{1+4+4} \cdot \sqrt{9+4+36} } =\\\\=\dfrac{-11}{\sqrt{9}\cdot \sqrt{49} } =\dfrac{-11}{3\cdot 7} =-\dfrac{11}{21} .$

Answer 2

Я отвечу подробно. Для того, чтобы определить косинус угла B треугольника KBN, нужно сначала найти длины сторон треугольника по формуле расстояния между двумя точками в пространстве. Используя координаты вершин треугольника, получаем:

KB = √((0 - 1)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - (-2))^2) = √9 = 3

KN = √((-3 - 1)^2 + (0 - 0)^2 + (6 - (-2))^2) = √80

BN = √((-3 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (6 - 0)^2) = √49 = 7

Затем, используя формулу косинуса угла между двумя векторами, находим:

cos∡B = (KB^2 + BN^2 - KN^2) / (2 * KB * BN) = (9 + 49 - 80) / (2 * 3 * 7) = -0.222

Ответ: cos∡B = -0.222