Question

Найдите интеграл: ∫(3-7е^х+5cosx)dx помогите пожалуйста. вообще не понимаю...

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

∫(3-7еˣ+5cosx)dx=∫3dx--∫7еˣdx+∫5cosxdx=3∫dx--7∫еˣdx+5∫cosxdx=

=3x--7еˣ+5sinx+c

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы будем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

∫(u * v) dx = u * ∫v dx - ∫(u' * ∫v dx) dx,

где u и v - функции, а u' - производная функции u по переменной x.

Шаг 1: Выбор функций u и v

Для выбора функций u и v, мы используем аббревиатуру LIATE, которая означает: - Logarithmic (логарифмическая функция) - Inverse trigonometric (обратная тригонометрическая функция) - Algebraic (алгебраическая функция) - Trigonometric (тригонометрическая функция) - Exponential (экспоненциальная функция)

В данном случае, мы выберем: u = 3 - 7e^x, v = x

Шаг 2: Вычисление производной функции u

Для вычисления производной функции u, мы используем правило дифференцирования экспоненциальной функции и константы:

u' = d(3 - 7e^x)/dx = 0 - 7e^x = -7e^x

Шаг 3: Вычисление интеграла

Теперь мы можем использовать формулу интегрирования по частям:

∫(3 - 7e^x + 5cosx)dx = u * ∫v dx - ∫(u' * ∫v dx) dx

∫(3 - 7e^x + 5cosx)dx = (3 - 7e^x) * ∫x dx - ∫(-7e^x * ∫x dx) dx

Шаг 4: Вычисление интегралов

Вычислим интегралы:

∫x dx = (1/2)x^2 + C1,

∫(-7e^x * ∫x dx) dx = -7 * ∫(x * e^x) dx.

Шаг 5: Вычисление второго интеграла

Для вычисления второго интеграла, мы снова будем использовать метод интегрирования по частям. Выберем: u = x, v = e^x.

Шаг 6: Вычисление производной функции u

Для вычисления производной функции u, мы используем правило дифференцирования линейной функции:

u' = d(x)/dx = 1.

Шаг 7: Вычисление второго интеграла

Теперь мы можем использовать формулу интегрирования по частям:

∫(x * e^x) dx = u * ∫v dx - ∫(u' * ∫v dx) dx

∫(x * e^x) dx = x * ∫e^x dx - ∫(1 * ∫e^x dx) dx

Шаг 8: Вычисление второго интеграла

Вычислим интегралы:

∫e^x dx = e^x + C2,

∫(1 * ∫e^x dx) dx = ∫e^x dx = e^x + C3.

Шаг 9: Подстановка результатов

Теперь мы можем подставить результаты обратно в исходный интеграл:

∫(3 - 7e^x + 5cosx)dx = (3 - 7e^x) * ∫x dx - ∫(-7e^x * ∫x dx) dx

∫(3 - 7e^x + 5cosx)dx = (3 - 7e^x) * ((1/2)x^2 + C1) - (-7 * (x * ∫e^x dx - ∫(1 * ∫e^x dx) dx))

∫(3 - 7e^x + 5cosx)dx = (3 - 7e^x) * ((1/2)x^2 + C1) - (-7 * (x * (e^x + C2) - (e^x + C3)))

Шаг 10: Упрощение выражения

Упростим выражение:

∫(3 - 7e^x + 5cosx)dx = (3/2)x^2 - (7/2)e^x * x - 7e^x + 7x + 7e^x + C,

где C = C1 - 7C2 + 7C3.

Таким образом, интеграл ∫(3 - 7e^x + 5cosx)dx равен (3/2)x^2 - (7/2)e^x * x - 7e^x + 7x + 7e^x + C.