Question

11. Докажите, что если в обращении будут только монеты достоинством в 5 и 26 копеек, то можно будет уплатить ими без сдачи любую сумму, начиная с 1 рубля.

Answer 1

Ответ:числа; г) как в (а), но 10 чисел.

Решение: а), б) 100, 200, 300. в) Если уже построен набор из n чисел, то к ним можно добавить (n + 1)-ое число – их сумму, т.к. она делится на каждое из этих n чисел и ее прибавление к набору из (n – 1)-го числа не изменяет их делимости на оставшееся. Таким образом, получаем, например, ряд 1, 2, 3, 6, 12, 24, и т.д.

Задача 2: а) Придумайте 3 различных натуральных числа, чтобы каждые два имели общий делитель, больший 1, но при этом чтобы НОД всех трёх чисел был равен 1; б) то же, но все числа больше 100; в) как в (а), но 4 числа; г) как в (а), но 10 чисел.

Задача 3: Разрежьте квадрат на n меньших квадратов (не обязательно одинаковых) а) n = 4; б) n = 7; в) n = 10; г) n = 1999.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы доказать, что можно уплатить любую сумму без сдачи с помощью монет достоинством в 5 и 26 копеек, начиная с 1 рубля, нужно показать, что все числа, начиная с 1 рубля, можно представить в виде суммы этих монет.

Для начала заметим, что сумма 1 рубль равна 100 копеек. Так как у нас есть монеты достоинством в 5 и 26 копеек, то мы можем составить сумму 100 копеек следующим образом: 4 монеты по 26 копеек и 4 монеты по 5 копеек. Таким образом, мы можем представить 1 рубль без сдачи.

Теперь докажем, что любое число, большее 1 рубля, также можно представить в виде суммы монет достоинством в 5 и 26 копеек без сдачи.

Предположим, что мы можем представить все числа от 1 до n в виде суммы монет без сдачи. Рассмотрим число n+1.

Если n+1 делится на 5, то мы можем добавить одну монету достоинством в 5 копеек к представлению числа n без сдачи и получить представление числа n+1 без сдачи.

Если n+1 не делится на 5, то мы можем вычесть 26 копеек (2 монеты достоинством в 26 копеек) из числа n+1 и получить число n-25. По предположению индукции, число n-25 можно представить в виде суммы монет без сдачи. Тогда мы можем добавить к этому представлению 2 монеты достоинством в 26 копеек и получить представление числа n+1 без сдачи.

Таким образом, мы показали, что любое число, начиная с 1 рубля, можно представить в виде суммы монет достоинством в 5 и 26 копеек без сдачи.