Question

Найдите косинус угла С треугольника АВС, если А (2; 2; -4), В (2; -1; -1), С (3; -1; -2)

Answer 1

Ответ:

$cos C =-\dfrac{\sqrt{7} }{14}$

Пошаговое объяснение:

Найти косинус угла С треугольника АВС, если

А( 2; 2; -4), В( 2; -1; -1), С ( 3; -1; -2)

Угол С - это угол между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$.

Найдем координаты векторов. Для этого надо от координат конца вектора отнять соответствующую координату начала вектора.

$\vec{CA}(-1;3;-2)$

$\vec{CB}(-1;0;1)$

Найдем скалярное произведение векторов как сумму произведений одноименных координат.

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=-1\cdot(-1)+3\cdot 0+(-2)\cdot 1=1+0-2=-1$

Скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

$\vec{CA}\cdot \vec{CB}=|\vec{CA}|\cdot| \vec{CB}|\cdot cos C$

Найдем длины векторов

$|\vec{CA}|=\sqrt{(-1)^{2}+3^{2} +(-2)^{2} }=\sqrt{1+9+4} =\sqrt{14} \\|\vec{CB}|=\sqrt{(-1)^{2} +0^{2} +1^{2} } =\sqrt{1+0+1} =\sqrt{2}$

$cos C =\dfrac{\vec {CA}\cdot \vec {CB}}{|\vec {CA}|\cdot |\vec {CB}|} \\\\cos C =\dfrac{-1}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{2} } =-\dfrac{1}{\sqrt{28} } =-\dfrac{1}{2\sqrt{7} } =-\dfrac{\sqrt{7} }{14}$

#SPJ1

Answer 2

Для того чтобы найти косинус угла C треугольника ABC, мы можем использовать формулу косинусов. Формула косинусов гласит:

cos(C) = (AB · AC) / (|AB| · |AC|)

где AB и AC - векторы, соединяющие вершины треугольника.

Давайте приступим к решению:

1. Найдем векторы AB и AC: AB = B - A = (2 - 2; -1 - 2; -1 - -4) = (0; -3; 3) AC = C - A = (3 - 2; -1 - 2; -2 - -4) = (1; -3; -2)

2. Найдем скалярное произведение векторов AB и AC: AB · AC = (0 * 1) + (-3 * -3) + (3 * -2) = 0 + 9 - 6 = 3

3. Найдем модули векторов AB и AC: |AB| = √(0^2 + (-3)^2 + 3^2) = √(0 + 9 + 9) = √18 ≈ 4.24 |AC| = √(1^2 + (-3)^2 + (-2)^2) = √(1 + 9 + 4) = √14 ≈ 3.74

4. Подставим значения в формулу косинусов: cos(C) = (AB · AC) / (|AB| · |AC|) = 3 / (4.24 * 3.74) ≈ 0.212

Таким образом, косинус угла C треугольника ABC примерно равен 0.212.