Question

Тригонометрическое уравнение: cos^2x(x отдельно от 2)+1,5•cosx-1=0 , cos^2x(x отдельно от 2)+5•sinx-5=0 Пожалуйста

Answer 1

Решение.

$\bf 1)\ \ cos^2x+1,5\cdot cosx-1=0\ |\cdot 2\\\\2cos^2x+3x-2=0$

Тригонометрическое уравнение cводится к квадратному относительно функции cosx .

$\bf D=b^2-4ac=3^2-4\cdot 2\cdot (-2)=25\\\\cosx=\dfrac{-3-5}{4}=-2\ \ ,\ \ \ cosx=\dfrac{-3+5}{4}=\dfrac{1}{2}$

Так как   $\bf |cosx|\leq 1$  , то cosx не может быть равен числу  -2 .

Если  $\bf cosx=\dfrac{1}{2}$  , то   $\bf x=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k\ ,\ \ k\in Z$  .

Ответ:   $\bf x=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k\ ,\ \ k\in Z\ .$

2)  Аналогично решаем пример

$\bf cos^2x+5\, sinx-5=0\\\\(1-sin^2x)+5sinx-5=0\\\\sin^2x-5sinx+4=0$  

П теореме Виета найдём корни квадратного уравнения, получим

$\bf sinx=1\ ,\ sinx=4$

Так как   $\bf |sinx|\leq 1$  , то cosx не может быть равен числу  4 .

$\bf sinx=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\ ,\ k\in Z$  

Ответ:  $\bf x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\ ,\ k\in Z\ .$

Answer 2

Для решения тригонометрического уравнения, необходимо привести его к более удобному виду.

1) Рассмотрим первое уравнение: cos^2x(x+2) + 1.5cosx - 1 = 0.

Обозначим cosx = t. Тогда уравнение примет вид: t^2(x+2) + 1.5t - 1 = 0.

Решим получившееся квадратное уравнение относительно t:

t^2(x+2) + 1.5t - 1 = 0.

Используя квадратное уравнение, найдем значения t:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

где a = (x+2), b = 1.5, c = -1.

Подставляем значения:

t = (-1.5 ± √(1.5^2 - 4(x+2)(-1))) / 2(x+2).

2) Рассмотрим второе уравнение: cos^2x(x+2) + 5sinx - 5 = 0.

Обозначим cosx = t. Тогда уравнение примет вид: t^2(x+2) + 5√(1-t^2) - 5 = 0.

Решим получившееся уравнение относительно t:

t^2(x+2) + 5√(1-t^2) - 5 = 0.

Данное уравнение не может быть решено аналитически, поэтому необходимо использовать численные методы или графический метод для нахождения приближенного значения t.

Таким образом, для решения этих тригонометрических уравнений необходимо привести их к более удобному виду и использовать методы численного решения уравнений для нахождения приближенных значений переменной t.