Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиям y=4x2 и y=12x

Answer 1

Ответ:

Площадь фигуры равна 18 кв. ед.

Пошаговое объяснение:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

$y=4x^{2} ,y=12x$

Выполним рисунок.

Графиком функции  $y=4x^{2}$ является парабола, ветви которой направлены вверх с вершиной в точке (0; 0) .

Графиком функции $y=12x$ является прямая, которая проходит через точки (0;0) и (1; 12)

Найдем абсциссы точек пересечения графиков, решив уравнение

$4x^{2} =12x;\\4x^{2} -12x=0;\\4x(x-3)=0;\\x{_1}=0;\\x{_2}=3$

Полученная фигур не является криволинейной трапецией, поэтому ее площадь

$S= \int\limits^3_0 {(f{_1}(x)-f{_2}(x))} \, dx ,$

$f{_1}(x)= 12x;\\\\f{_2}(x)=4x^{2}$

$S= \int\limits^3_0 {(12x-4x^{2} )} \, dx =\left(6x^{2} -\dfrac{4x^{3} }{3}\right )|^3_0 =6\cdot 3^{2} -\dfrac{4\cdot3^{3} }{3} =6\cdot9-\dfrac{4\cdot27}{3} =\\\\=54-4\cdot9=54-36=18$

Значит, площадь фигуры равна 18 кв. ед.

#SPJ1

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и интегрировать функцию, представляющую разность между ними, от одной точки пересечения до другой.

Для начала, найдем точки пересечения кривых y = 4x^2 и y = 12x. Чтобы найти эти точки, приравняем уравнения друг к другу:

4x^2 = 12x

Поделим обе части на 4x:

x^2 = 3x

Получаем квадратное уравнение:

x^2 - 3x = 0

Факторизуем его:

x(x - 3) = 0

Таким образом, у нас есть две возможные точки пересечения: x = 0 и x = 3.

Подставим эти значения x обратно в уравнения, чтобы найти соответствующие значения y:

Для x = 0: y = 4(0)^2 = 0

Для x = 3: y = 4(3)^2 = 36

Таким образом, точки пересечения кривых y = 4x^2 и y = 12x равны (0, 0) и (3, 36).

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми. Для этого возьмем интеграл от разности функций y = 4x^2 и y = 12x от x = 0 до x = 3:

Площадь = ∫[0, 3] (12x - 4x^2) dx

Вычислим этот интеграл:

Площадь = [6x^2 - (4/3)x^3] [0, 3]

Подставим верхний предел интегрирования x = 3:

Площадь = (6(3)^2 - (4/3)(3)^3) - (6(0)^2 - (4/3)(0)^3)

Площадь = (54 - 36) - (0 - 0)

Площадь = 18

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 4x^2 и y = 12x, равна 18 квадратных единиц.