Question

Висоти, проведені з вершини меншої основи рівнобічної трапеції, ділять більшу основу на три відрізки, сума двох з яких дорівнює третьому. Більша основа трапеції дорівнює 12 см, а її середня лінія - висоті трапеції. Знайти площу трапеції

Answer 1

Ответ:

Площа трапеції ABCDдорівнює 81 см²

Пошаговое объяснение:

Висоти, проведені з вершин меншої основи рівнобічної трапеції, ділять більшу основу на три відрізки, сума двох з яких дорівнює третьому. Більша основа трапеції дорівнює 12 см, а її середня лінія - висоті трапеції. Знайти площу трапеції

Середня лінія трапеції рівна півсумі основ, тому формулу площі трапеції можна записати у вигляді:

S=m·h

де m - середня дінія трапеції,  h - її висота.

Так як за умовою m=h, то площу трапеції будемо знаходити за формулою:

S=m²

Розв'язання

1) Нехай дано рівнобічну трапецію ABCD, BC║AD, АВ=CD, АD=12 см.

Проведемо висоти ВР і СК. ВР⊥АD, СК⊥АD.

Розглянемо ΔАВР і ΔDСК.

• ∠АРВ=∠DКС=90°

• ВР=СК (висоти)

• АВ=СD (трапеція рівнобока)

Отже, ΔАВР = ΔDСК (за катетом і гіпотенузою), з цього випливає, що АР=КD.

2) Оскількі АР=КD, то АР+КD=РК.

Позначимо АР=КD=х, тоді РК=2х.

Отже за аксиомою вимірювання відрізків: АD=АР+РК+КD=х+2х+х=4х

Маємо: 4х=12, х=3.

РК=2х=2·3=6 (см)

3) Оскільки ВСКР - прямокутник (ВС║РК, ВР=СК, ВР⊥АD, СК⊥АD), то ВС=РК= 6 (см)

4) Знайдемо середню лінію трапеції:

$\sf m=\dfrac{BC+AD}{2} =\dfrac{6+12}{2} =\bf 9$   (см)

5) Площа трапеції ABCD:

S=m²=9²=81 (cм²)

Відповідь: 81 см²

#SPJ1

Answer 2

Нехай AB і CD - основи рівнобічної трапеції, а EF - висота, проведена з вершини меншої основи (CD).

Позначимо точку перетину висоти EF і більшої основи AB через точку M.

Одне з умов задачі говорить, що висоти EF і AM рівнобічної трапеції розділяють більшу основу AB на три відрізки, сума двох з яких дорівнює третьому. Позначимо ці відрізки через x, y і z:

1. AM = x 2. ME = y 3. MB = z

Таким чином, ми можемо записати рівняння:

\[ x + y + z = AB \]

Також, ми знаємо, що більша основа трапеції AB дорівнює 12 см, тобто \( AB = 12 \).

Також, інша умова говорить, що більша основа трапеції AB дорівнює 12 см, а її середня лінія - висоті трапеції. Оскільки EF - висота, то:

\[ EF = \frac{AB}{2} \]

Замінимо AB на 12 в останньому рівнянні:

\[ EF = \frac{12}{2} = 6 \]

Таким чином, ми знаємо, що EF = 6.

Тепер ми можемо використати відомі величини для обчислення площі трапеції. Площа трапеції обчислюється за формулою:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]

де a і b - основи трапеції, h - висота трапеції.

У нашому випадку a = 12 (більша основа), b = x + z (сума двох відрізків, яку ми позначили як x + z), і h = 6 (висота).

\[ S = \frac{(12 + x + z) \cdot 6}{2} \]

Але ми ще не знаємо значень x і z. Звернемося до умови задачі, яка говорить, що сума двох з трьох відрізків (x, y, z) дорівнює третьому. Ми можемо записати рівняння:

\[ x + y = z \]

Також, ми знаємо, що сума всіх трьох відрізків дорівнює більшій основі AB:

\[ x + y + z = 12 \]

Маємо систему рівнянь для знаходження x, y і z. Після знаходження цих значень можна підставити їх у формулу для площі трапеції і знайти S.