Question

2(y'+xy)=(x-1)exp(x)y^2 ,y(0)=2

Answer 1

Дано уравнение:

2(y'+xy)=(x-1)e^(x)y^2, y(0)=2

Чтобы решить данное уравнение, необходимо воспользоваться методом Бернулли.

Домножим обе части уравнения на e^(2x) и преобразуем его:

2e^(2x)y' + 2xe^(2x)y = (x-1)e^(3x)y^2

Выразим производную y':

y' = (-xe^x + e^-x(x-1)y^2) / 2

Теперь воспользуемся заменой:

z = y^-1

Тогда:

z' = -y^-2 * y' = (xe^x - (x-1)) / (2y^2 * e^x)

Решим полученное уравнение относительно z:

z = -1/(2y) + Ce^-x

Теперь найдем константу C, воспользовавшись начальным условием y(0) = 2:

z(0) = -1/(2*2) + Ce^0 = -1/4 + C = 2^-1

C = 2^-1 + 1/4 = 3/4

Таким образом, имеем:

z = -1/(2y) + (3/4)e^-x

Обратная замена дает решение исходного уравнения:

y = (2 - 3e^x/4) / (2e^-x)

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения первого порядка с начальным условием, мы можем использовать метод интегрирующего множителя.

Метод интегрирующего множителя

1. Найдем интегрирующий множитель, умножив обе части уравнения на неизвестную функцию, которая будет зависеть только от переменных (x, y), но не от их производных. В нашем случае, мы умножим обе части уравнения на множитель μ(x, y):

2(y' + xy) = (x - 1)exp(x)y^2 Умножая обе части на μ(x, y), получаем: 2μ(y' + xy) = μ(x - 1)exp(x)y^2 2. Теперь, мы хотим выбрать μ(x, y) таким образом, чтобы левая часть уравнения стала полной производной относительно y. Для этого, мы дифференцируем левую часть уравнения по y и приравниваем к дифференцированию μ(x, y) по x:

d/dy (2μ(y' + xy)) = d/dx (μ(x - 1)exp(x)y^2) Дифференцируя по y, получаем: 2μ' (y' + xy) + 2μ = d/dx (μ(x - 1)exp(x)y^2) Дифференцируя по x, получаем: 2μ' (y' + xy) + 2μ = (x - 1)exp(x)y^2μ' + μ(x - 1)exp(x)2yy' + μ(x - 1)exp(x)2y Упрощая, получаем: 2μ' (y' + xy) + 2μ = (x - 1)exp(x)(y^2μ' + 2yy' + 2y) 3. Теперь, мы приравниваем коэффициенты при одинаковых производных в обоих частях уравнения:

2μ' = (x - 1)exp(x)(y^2μ' + 2yy' + 2y) 2μ = 0 Решая второе уравнение, получаем μ = 0, что не является полезным интегрирующим множителем. Поэтому, мы рассматриваем первое уравнение: 2μ' = (x - 1)exp(x)(y^2μ' + 2yy' + 2y) Упрощая, получаем: μ' = (x - 1)exp(x)(y^2 + 2y) 4. Теперь, мы интегрируем полученное уравнение для нахождения μ(x, y):

∫(1/μ) dμ = ∫(x - 1)exp(x)(y^2 + 2y) dx Левую и правую части уравнения интегрируем относительно соответствующих переменных: ln|μ| = ∫(x - 1)exp(x)(y^2 + 2y) dx Затем, берем экспоненту от обеих частей уравнения: |μ| = exp[∫(x - 1)exp(x)(y^2 + 2y) dx] Заметим, что мы можем опустить модуль, так как мы можем выбрать μ(x, y) таким образом, чтобы она всегда была положительной. Таким образом, μ(x, y) = exp[∫(x - 1)exp(x)(y^2 + 2y) dx] 5. Теперь, мы умножаем исходное уравнение на найденный интегрирующий множитель:

exp[∫(x - 1)exp(x)(y^2 + 2y) dx] * 2(y' + xy) = exp[∫(x - 1)exp(x)(y^2 + 2y) dx] * (x - 1)exp(x)y^2 Упрощая, получаем: 2exp[∫(x - 1)exp(x)(y^2 + 2y) dx] (y' + xy) = (x - 1)exp(2x)y^2 6. Теперь, мы можем проинтегрировать обе части уравнения. Левую часть уравнения можно проинтегрировать с помощью правила произведения, а правую часть уравнения можно проинтегрировать с помощью замены переменных.

∫2exp[∫(x - 1)exp(x)(y^2 + 2y) dx] (y' + xy) dx = ∫(x - 1)exp(2x)y^2 dx Окончательное решение этого уравнения будет представлять собой неявную функцию y(x).

К сожалению, я не могу решить это уравнение аналитически и точно определить неявную функцию y(x) в данном случае. Однако, вы можете использовать численные методы, такие как метод Рунге-Кутты или метод Эйлера, чтобы приближенно решить это уравнение и получить численное решение.