Question

Доведіть що чотирикутник з вершинами в точках d (0,-3) e (3,0) f (-1,4) і g (-4,1) є прямокутником​

Answer 1

Розв'язок у вкладеному PDF-файлі.

Answer 2

Щоб довести, що чотирикутник з вершинами в точках D(0, -3), E(3, 0), F(-1, 4) і G(-4, 1) є прямокутником, ми можемо скористатися властивостями прямокутника.

1. Паралельні сторони: Прямокутник має протилежні сторони паралельні та однакової довжини. Перевіримо, чи це вірно для даного чотирикутника:

- Сторона DE: \( \sqrt{(3-0)^2 + (0-(-3))^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} \) - Сторона EF: \( \sqrt{((-1)-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{32} \) - Сторона FG: \( \sqrt{((-4)-(-1))^2 + (1-4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} \) - Сторона GD: \( \sqrt{(0-(-4))^2 + ((-3)-1)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} \)

Видно, що DE і FG мають однакову довжину (\( \sqrt{18} \)), так само як і EF і GD (\( \sqrt{32} \)). Отже, сторони паралельні та мають однакову довжину.

2. Прямі кути: Прямокутник має чотири прямі кути (кути, рівні 90 градусам). Ми можемо перевірити, чи це виконується для даного чотирикутника.

Вектор DE: \( \langle 3-0, 0-(-3) \rangle = \langle 3, 3 \rangle \) Вектор EF: \( \langle (-1)-3, 4-0 \rangle = \langle -4, 4 \rangle \)

Перевіримо, чи вектори DE і EF перпендикулярні, використовуючи їхні скалярні добутки:

\[ \langle 3, 3 \rangle \cdot \langle -4, 4 \rangle = 3(-4) + 3(4) = 0 \]

Скалярний добуток дорівнює нулю, що означає, що вектори DE і EF є перпендикулярними. Так само можна перевірити, що інші пари сусідніх сторін DE і FG, EF і GD, FG і GD є перпендикулярними векторами.

Отже, ми довели, що чотирикутник з вершинами в точках D(0, -3), E(3, 0), F(-1, 4) і G(-4, 1) є прямокутником, оскільки його сторони паралельні та мають однакову довжину, а сусідні сторони є перпендикулярними.