Question

Найти площадь треугольника с вершинами: A(1;-2;3), B(0;-1;2), C(3;4;5).

Answer 1

надеюсь помогла :______>

Answer 2

Чтобы найти площадь треугольника, заданного координатами его вершин в трехмерном пространстве, можно воспользоваться формулой площади Герона. Однако в данном случае у нас нет прямого доступа к длинам сторон треугольника, так что мы будем использовать векторное произведение.

Площадь треугольника, образованного векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), равна половине модуля векторного произведения этих векторов.

1. Вычислим векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\): \[\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 1, (-1) - (-2), 2 - 3) = (-1, 1, -1),\] \[\overrightarrow{AC} = C - A = (3 - 1, 4 - (-2), 5 - 3) = (2, 6, 2).\]

2. Теперь вычислим векторное произведение: \[\overrightarrow{N} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC},\] где \(\times\) обозначает векторное произведение.

\[\overrightarrow{N} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & 6 & 2 \end{vmatrix}.\]

Вычислим определитель: \[\overrightarrow{N} = \mathbf{i}((-1)(2) - (1)(2)) - \mathbf{j}((-1)(2) - (-1)(2)) + \mathbf{k}((-1)(6) - (1)(2))\] \[\overrightarrow{N} = -4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} - 8\mathbf{k} = (-4, 0, -8).\]

3. Найдем модуль вектора \(\overrightarrow{N}\): \[|\overrightarrow{N}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}.\]

4. Теперь площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения: \[\text{Площадь} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{N}| = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{5} = 2\sqrt{5}.\]

Таким образом, площадь треугольника с вершинами A(1;-2;3), B(0;-1;2), C(3;4;5) равна \(2\sqrt{5}\).