Question

ПОЖАЛУЙСТА СРОЧНО1!!!!!! Дана последовательность xk такая, что x1 = 1, xn + 1 = n sin xn + 1. Докажите, что последовательность непериодична.

Answer 1

Ответ:Предположим, что она периодична и длина периода равна T, тогда xm + T = xm и xm + T + 1 = xm + 1 при m ≥ m0.

Если при некотором m ≥ m0 sin xm ≠ 0, то xm + T + 1 = (m + T) sin xm + T + 1 = (m + T) sin xm + 1 ≠ m sin xm + 1 = xm + 1.

А если sin xm = 0, то xm + 1 = 1, и sin xm + 1 = sin 1 ≠ 0, так что предыдущее рассуждение применимо к xm + 1.

Таким образом получаем противоречие.

Пошаговое объяснение:поставь 5 звезд

Answer 2

Для доказательства непериодичности данной последовательности, мы можем использовать метод от противного. Предположим, что последовательность является периодической. Это означает, что существует некоторое натуральное число T, такое что для всех n > T выполняется равенство xn = xn+T.

Для упрощения вычислений, давайте рассмотрим последовательность yk = sin(xk+1). Тогда у нас будет y1 = sin(x2), y2 = sin(x3), и так далее. Если мы докажем, что последовательность yk также является периодической, то это будет означать, что исходная последовательность xk также периодична.

Допустим, что последовательность yk периодична с периодом T. Это означает, что для всех n > T выполняется равенство yn = yn+T. Тогда мы можем записать следующее:

sin(xn+1) = yn = yn+T = sin(xn+T+1)

Так как sin(x) - это периодическая функция с периодом 2π, то мы можем записать следующее:

xn+1 = xn+T+1 + 2πk, где k - целое число.

Теперь давайте рассмотрим выражение для xn+2:

xn+2 = xn+1 + 1 = xn+T+1 + 2πk + 1

Мы можем продолжать этот процесс и получить следующее:

xn+m = xn+T+m + 2πmk

Теперь давайте рассмотрим выражение для xn+T+1:

xn+T+1 = xn+T + 1 = xn + 2πk + 1

Мы можем продолжать этот процесс и получить следующее:

xn+T+m = xn + 2πmk + m

Теперь давайте сравним два выражения:

xn+m = xn + 2πmk xn+T+m = xn + 2πmk + m

Если мы вычтем первое выражение из второго, то получим:

xn+T+m - xn+m = m

Это означает, что для всех m > T выполняется равенство xn+T+m = xn+m + m. Но это противоречит нашему предположению о периодичности последовательности yk.

Таким образом, мы доказали, что последовательность xk непериодична.

Примечание: Данный ответ основан на математическом рассуждении и не требует ссылок на внешние источники.