Question

Решите систему уравнений y-x=1 x^2+y^2=25

Answer 1

Ответ:

y=4 x=3

Пошаговое объяснение:

x2=3в 2

у2=4в 2

9+16=25

Answer 2

Для решения данной системы уравнений, можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных. В данном случае, используем метод подстановки.

Дана система уравнений: \[ \begin{align*} 1. \quad & y - x = 1 \\ 2. \quad & x^2 + y^2 = 25 \\ \end{align*} \]

Из уравнения (1) выразим одну из переменных. Например, выразим \(y\): \[ y = x + 1 \]

Теперь подставим это выражение в уравнение (2): \[ x^2 + (x + 1)^2 = 25 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25 \]

Соберем все члены уравнения в одну сторону и уравняем нулю: \[ 2x^2 + 2x + 1 - 25 = 0 \]

Упростим еще немного: \[ 2x^2 + 2x - 24 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \]

где у нас уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\). В данном случае \(a = 2\), \(b = 2\), \(c = -24\).

\[ D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-24) = 4 + 192 = 196 \]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 2} \]

\[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm 14}{4} \]

Таким образом, у нас есть два значения \(x\): \(x_1 = 3\) и \(x_2 = -4\).

Теперь подставим каждое из значений \(x\) обратно в уравнение \(y = x + 1\) для нахождения соответствующих значений \(y\):

1. При \(x = 3\): \(y_1 = 3 + 1 = 4\) 2. При \(x = -4\): \(y_2 = -4 + 1 = -3\)

Таким образом, у нас есть две пары решений: 1. При \(x = 3\) и \(y = 4\) 2. При \(x = -4\) и \(y = -3\)

Проверим, что эти значения удовлетворяют исходной системе уравнений:

1. При \(x = 3\) и \(y = 4\): - \(y - x = 4 - 3 = 1\) (уравнение 1 выполняется) - \(x^2 + y^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\) (уравнение 2 выполняется)

2. При \(x = -4\) и \(y = -3\): - \(y - x = -3 - (-4) = 1\) (уравнение 1 выполняется) - \(x^2 + y^2 = (-4)^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25\) (уравнение 2 выполняется)

Таким образом, оба набора значений \(x\) и \(y\) являются решениями системы уравнений.