Question

Свободный член многочлена (х² + 2x - a)(x+3а) равен -12. Найдите наименьшее значение суммы коэффициентов этого многочлена (а параметр).

Answer 1

Відповідь:

9

Покрокове пояснення:

Начнем с раскрытия скобок:

(x² + 2ax - a)(x + 3a) = x³ + (2a + 3a)x² + (3a^2 - a)x - 3a^2

Обратите внимание, что свободный член равен -3a^2. Мы знаем, что он равен -12, поэтому мы можем записать уравнение:

-3a^2 = -12

Решив это уравнение, мы получим a = 2.

Теперь мы можем подставить a = 2 в наш многочлен:

(x² + 4x - 2)(x + 6)

Сумма коэффициентов этого многочлена равна 1 + 4 - 2 + 6 = 9.

Таким образом, наименьшее значение суммы коэффициентов равно 9.

Answer 2

Давайте рассмотрим заданный многочлен:

\[(x^2 + 2x - a)(x + 3a)\]

Чтобы найти свободный член (термин называется свободным членом), нужно перемножить последние элементы каждого множителя. В данном случае:

\[(-a) \cdot (3a) = -3a^2\]

Теперь у нас есть часть свободного члена, но по условию задачи мы знаем, что свободный член равен -12:

\[-3a^2 = -12\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(a\):

\[a^2 = \frac{12}{3}\]

\[a^2 = 4\]

\[a = \pm 2\]

Теперь, когда мы знаем значения \(a\), мы можем подставить их обратно в исходный многочлен, чтобы найти наименьшее значение суммы коэффициентов:

1. При \(a = 2\): \[(x^2 + 2x - 2)(x + 6)\]

2. При \(a = -2\): \[(x^2 + 2x + 2)(x - 6)\]

Теперь найдем сумму коэффициентов для каждого из этих многочленов:

1. Для \(a = 2\): Сумма коэффициентов: \(1 + 2 - 2 + 1 + 6 = 8\)

2. Для \(a = -2\): Сумма коэффициентов: \(1 + 2 + 2 - 1 - 6 = -2\)

Таким образом, наименьшее значение суммы коэффициентов этого многочлена достигается при \(a = -2\) и равно -2.