Question

Дано прямокутник з вершинами в точках А(0, 0), В(100, 0), C(100, 50) i D(0, 50). Чому дорів- нює кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через точку К(75, 30) i дiлить площу пря- мокутника навпіл? ​

Answer 1

Відповідь:Спочатку знайдемо площу прямокутника:

S = AB × BC = 100 × 50 = 5000

Для того, щоб пряма, що проходить через точку К(75, 30), ділила площу прямокутника навпіл, необхідно, щоб вона проходила через центр прямокутника. Центр прямокутника знаходиться в точці M(50, 25).

Тепер знайдемо кутовий коефіцієнт прямої, яка проходить через точки К(75, 30) і М(50, 25):

k = (30 - 25) / (75 - 50) = 1/5

Отже, відповідь: A: 1/5.

Покрокове пояснення:

Answer 2

Для того чтобы найти кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через точку К(75, 30) і ділить прямокутник навпіл, спочатку знайдемо рівняння прямої, а потім визначимо його кутовий коефіцієнт.

Крок 1: Знаходження рівняння прямої через точки К(75, 30) і D(0, 50)

Спочатку знайдемо рівняння прямої, використовуючи формулу для знаходження рівняння прямої, проходячи через дві точки: \(y - y_1 = m(x - x_1)\), де \((x_1, y_1)\) - координати однієї точки, \(m\) - кутовий коефіцієнт.

Координати точки K(75, 30), а D(0, 50). Підставимо їх у формулу:

\(y - 30 = m(x - 75)\)

Тепер потрібно знайти кутовий коефіцієнт \(m\).

Крок 2: Знаходження кутового коефіцієнта

Кутовий коефіцієнт прямої визначається як \(m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\), де \((x_1, y_1)\) і \((x_2, y_2)\) - координати двох точок.

Таким чином, \(m = \frac{{50 - 30}}{{0 - 75}} = \frac{{20}}{{-75}} = -\frac{4}{15}\).

Отже, рівняння прямої, що проходить через точки K(75, 30) і D(0, 50), має вигляд \(y - 30 = -\frac{4}{15}(x - 75)\).

Крок 3: Поділ прямокутника навпіл

Тепер, коли ми маємо рівняння прямої, яка проходить через точку K(75, 30), ми можемо використовувати це рівняння для визначення точки перетину прямої з діагоналлю прямокутника.

Прямокутник має діагональ, яка йде від точки A(0, 0) до точки C(100, 50). Його середня лінія (яка ділить його навпіл) - це діагональ прямокутника.

Точка перетину прямої \(y - 30 = -\frac{4}{15}(x - 75)\) з діагоналлю прямокутника буде та точка, яка ділить його навпіл.

Підставимо координати цієї точки у формулу площі прямокутника для визначення площі обох половин:

Площа прямокутника = \(S = \text{довжина} \times \text{ширина}\)

Довжина = BC = 100, Ширина = AD = 50

Отже, площа прямокутника \(S = 100 \times 50 = 5000\) (одиниця площі).

Точка перетину може бути обчислена, підставивши рівняння прямої у рівняння діагоналі прямокутника.

\(y - 30 = -\frac{4}{15}(x - 75)\)

Тепер знайдемо координати точки перетину цієї прямої з діагоналлю прямокутника.

\(y = -\frac{4}{15}x + \frac{620}{3}\)

Рівняння діагоналі прямокутника: \(y = \frac{1}{2}x\)

Тепер розв'яжемо ці два рівняння, прирівнявши їх:

\(-\frac{4}{15}x + \frac{620}{3} = \frac{1}{2}x\)

Отримаємо значення x:

\(-\frac{4}{15}x - \frac{1}{2}x = -\frac{620}{3}\)

\(-\frac{22}{30}x = -\frac{620}{3}\)

\(x = \frac{-\frac{620}{3} \times \frac{30}{22}}{-\frac{22}{30}}\)

\(x = \frac{310}{11}\)

Тепер, підставимо \(x\) у рівняння діагоналі прямокутника, щоб знайти \(y\):

\(y = \frac{1}{2} \times \frac{310}{11} = \frac{155}{11}\)

Отже, координати точки перетину прямої з діагоналлю прямокутника дорівнюють \(P\left(\frac{310}{11}, \frac{155}{11}\right)\).

Тепер, щоб знайти площу кожної половини прямокутника, можемо використати формулу площі для трикутника,