Question

80 баллов. Найдите cosß угла между векторами: a (3; -7; 2) и b (-1; 4; 5)

Answer 1

Ответ:

$\bf \overline{a}=(3;-7;2)\ \ ,\ \overline{b}=(-1;4;5)$  

Косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов, делённому на произведение длин этих векторов .

$\bf cos\beta =\dfrac{\overline{a}\cdot \overline{b}}{|\overline{a}|\cdot |\overline{b}|}=\dfrac{-3\cdot 1-7\cdot 4+2\cdot 5}{\sqrt{3^2+7^2+2^2}\cdot \sqrt{1^2+4^2+5^2}}=\dfrac{-21}{\sqrt{62}\cdot \sqrt{42}}=-\dfrac{21}{2\sqrt{651}}=\\\\\\=-\dfrac{\sqrt{21}}{2\sqrt{31}}=-\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{\dfrac{21}{31}}$

Answer 2

Чтобы найти косинус угла между двумя векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), можно воспользоваться следующей формулой для косинуса угла \( \theta \) между двумя векторами:

\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|} \]

Где \( \cdot \) обозначает скалярное произведение векторов, а \( \|\mathbf{a}\| \) и \( \|\mathbf{b}\| \) обозначают их длины.

Давайте вычислим:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (3 \cdot -1) + (-7 \cdot 4) + (2 \cdot 5) \] \[ = -3 - 28 + 10 = -21 \]

Теперь найдем длины векторов:

\[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{3^2 + (-7)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 49 + 4} = \sqrt{62} \]

\[ \|\mathbf{b}\| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 16 + 25} = \sqrt{42} \]

Теперь мы можем подставить значения в формулу для косинуса угла:

\[ \cos \theta = \frac{-21}{\sqrt{62} \cdot \sqrt{42}} \]

Теперь вычислите это значение, чтобы получить косинус угла \( \theta \). Помните, что значение косинуса угла \( \theta \) будет в интервале от -1 до 1.