Question

Задача № 2 Катет равнобедренного прямоугольного треугольника равен 6 см. Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.​

Answer 1

Ответ:

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен $\displaystyle \tt 6-3 \cdot \sqrt{2}$ см

Пошаговое объяснение:

Нужно знать:

1) Радиус r окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляется по формуле

$\displaystyle \tt r=\frac{a+b-c}{2} ,$

где a и b - катеты, c - гипотенуза.

2) Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Решение. По условию прямоугольный треугольник равнобедренный и поэтому катеты равны: a = b = 6 см.

Длину гипотенузы находим по теореме Пифагора:

$\displaystyle \tt c^2=a^2+b^2, \; a=b\\c^2=2 \cdot a^2\\c = \sqrt{2 \cdot a^2} = \sqrt{2 \cdot 6^2} = 6 \cdot \sqrt{2}.$

Теперь радиус r окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен

$\displaystyle \tt r=\frac{6+6-6 \cdot \sqrt{2} }{2} = \frac{12-6 \cdot \sqrt{2} }{2} = 6-3 \cdot \sqrt{2} \; CM.$

#SPJ1

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством равнобедренного треугольника, которое гласит, что высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является медианой и биссектрисой этого треугольника.

Пусть радиус вписанной окружности равен r. Так как треугольник равнобедренный, то высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, будет равна половине длины гипотенузы. То есть, высота равна 6 / 2 = 3 см.

Также известно, что высота, медиана и биссектриса в равнобедренном треугольнике делят угол между основанием и боковыми сторонами на равные части. То есть, угол при основании равен 90° / 2 = 45°.

Теперь мы можем применить теорему тригонометрии для нахождения радиуса окружности. В равнобедренном треугольнике у нас есть прямой угол и два равных угла, поэтому треугольник является прямоугольным.

Тангенс угла при основании равен отношению катета к гипотенузе. То есть, tg(45°) = 3 / r.

tg(45°) = 1, поэтому 1 = 3 / r.

Умножим обе части уравнения на r: r = 3.

Таким образом, радиус окружности, вписанной в данный треугольник, равен 3 см.