Question

КОМБІНАТОРИКА Ліфт, у якому перебуває 9 пасажирів, зупиняється на десяти поверхах. Пасажири виходять групами по дві, три, чотири особи. Скількома способами це можна зробити?

Answer 1

Ответ: 907200 способами  

Пошаговое объяснение:

Мы  распределяем  9 пассажиров на  3 группы  по схеме   2 + 3 + 4

Для того чтобы составить первую команду, нужно выбрать 2 человека из 9 ,  то есть  $C_ 9^ 2$   способами
Для второй команды, нужно выбрать 2 человека   из  9 - 2 = 7 , сделать это можно   $C_7^3$способами , а оставшиеся люди будут входить в третью группу

И мы получим :

$\displsytyle N^{2+ 3 +4} = C^2_9 \cdot C^3_7 \cdot C_4^4 = \dfrac{9!}{7!\cdot 2!} \cdot \dfrac{7!}{4!\cdot 3!}$

Но поскольку данные  пассажиры  выходят группами на десяти этажах , мы должны найти сколькими способами они могут выбрать 3 этажа  из 10

Немаловажно то , что  каждый этаж имеет свой определенный не повторяющийся номер , поэтому  мы используем формулу размещений :

$A_{10}^3 = \dfrac{10!}{(10-3)!} = \dfrac{10!}{7!}$

Итак , при подсчете мы учитываем сколькими способами мы можем составить 3 группы , и номер  этажа ,  поэтому чтобы найти ответ на задачу мы их перемножаем

$N^{2 +3 + 4} \cdot A^3_{10} = \displaystyle \frac{9!}{ \diagup\!\!\!\!\! 7!\cdot 2!} \cdot \dfrac{\diagup\!\!\!\!\! 7!}{4!\cdot 3!}\cdot \frac{10!}{7!} =\frac{9\cdot 8 \cdot 10! }{2\cdot 24 \cdot 6 }=\frac{10!}{4} = 907200$

#SPJ1

Answer 2

Для вирішення цієї задачі використаємо принципи комбінаторики.

Скількома способами пасажири можуть виходити групами по дві особи? Для цього сперше вибираємо двох пасажирів з 9, що можна зробити за допомогою комбінацій: C(9, 2) = 36. Потім вибираємо ще двох пасажирів з 7, тобто C(7, 2) = 21. Процес починаємо знову, вибираючи пари поки не залишиться тільки одна особа. Можна зробити цей вибір C(1, 2) = 0, адже залишається одна особа.

Отже, пасажири можуть виходити групами по дві особи 36 * 21 * 1 = 756 способами.

Аналогічно розраховуємо скількома способами пасажири можуть виходити групами по три особи. Вибираємо трьох пасажирів з 9: C(9, 3) = 84. Далі вибираємо ще трьох пасажирів з 6: C(6, 3) = 20. І наступний вибір буде з трьох пасажирів, що залишилися: C(3, 3) = 1.

Таким чином, пасажири можуть виходити групами по три особи 84 * 20 * 1 = 1680 способами.

Аналогічно розраховуємо скількома способами пасажири можуть виходити групами по чотири особи. Вибираємо чотирьох пасажирів з 9: C(9, 4) = 126. Далі вибираємо ще чотирьох пасажирів з 5: C(5, 4) = 5. І наступний вибір буде з чотирьох пасажирів, що залишилися: C(1, 4) = 0, адже залишається нуль осіб.

Таким чином, пасажири можуть виходити групами по чотири особи 126 * 5 * 1 = 630 способами.

Загальна кількість способів, якими пасажири можуть виходити групами, це сума кількостей способів по дві, три та чотири особи: 756 + 1680 + 630 = 3066.

Можливо варіантів, як пасажири можуть виходити групами з двох, трьох або чотирьох осіб на десяти поверхах, становить 3066 способів.