Question

Найдите координаты центра окружности x2+y2-6x+8y-11=0

Answer 1

Общая формула окружности:

$\displaystyle\mathsf{(x-a)^2+(y-b)^2=R^2}$,

где R - радиус., (a;b) - центр окружности.

$\displaystyle\mathsf{x^2-6x+9+y^2+8y=11+9}\\\displaystyle\mathsf{(x-3)^2+y^2+8y=20}\\\displaystyle\mathsf{(x-3)^2+y^2+8y+16=20+16}\\\displaystyle\mathsf{(x-3)^2+(y+4)^2=36}\\\displaystyle\mathsf{(x-3)^2+(y-(-4))^2=36}$

(3;-4) - координаты центра окружности.

Answer 2

Чтобы найти координаты центра окружности, представленной уравнением \(x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0\), нужно привести его к каноническому виду уравнения окружности: \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), где \((h, k)\) - координаты центра, а \(r\) - радиус окружности.

Для этого давайте завершим квадратное выражение по \(x\) и \(y\):

\[ \begin{align*} x^2 - 6x + y^2 + 8y - 11 &= 0 \\ x^2 - 6x + 9 + y^2 + 8y + 16 - 11 &= 9 + 16 \\ (x - 3)^2 + (y + 4)^2 &= 14. \end{align*} \]

Теперь у нас уравнение окружности в канонической форме, и мы можем выразить координаты центра и радиус:

Центр окружности: \((h, k) = (3, -4)\).

Радиус окружности: \(r = \sqrt{14}\).

Таким образом, координаты центра окружности \((x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0)\) равны \((3, -4)\), а радиус равен \(\sqrt{14}\).