Question

Знайти площу криволінійної трапеції (А) і об'єм тіла обертання (Б) А) y= x2-7x, x+y-7=0 ; Б) y=cos2x, x=0, x= 4/п

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Answer 2

А) Для знаходження площі криволінійної трапеції необхідно побудувати графіки обох функцій і знайти точки перетину.

1) Побудова графіка функції y = x^2 - 7x: Знайдемо координати вершини параболи, використовуючи формулу x = -b/2a: a = 1, b = -7 x = -(-7) / (2 * 1) = 7/2 Підставляємо x = 7/2 у вихідну функцію, щоб знайти y: y = (7/2)^2 - 7 * (7/2) = 49/4 - 49/2 = -49/4 Отже, вершина параболи має координати (7/2, -49/4).

Також побудуємо додатково вертикальну пряму, яка має рівняння x = 7/2, щоб виділити потрібну частину площі.

2) Побудова графіка прямої x + y - 7 = 0: Перетворимо рівняння прямої до вигляду y = mx + b: y = -x + 7 Таким чином, пряма має нахил -1 і перетинає вісь ординат у точці (0, 7).

3) Знаходимо точки перетину двох графіків: Рівняння перетину знаходяться розв'язуючи систему рівнянь: x^2 - 7x = -x + 7 x^2 - 6x + x - 7 - 7 = 0 x^2 - 5x - 14 = 0 Знайдемо корені цього квадратного рівняння: (x - 7)(x + 2) = 0 x1 = 7 x2 = -2 Підставимо ці значення у перше рівняння, щоб знайти відповідні значення y: При x = 7: y = (7)^2 - 7 * 7 = 49 - 49 = 0 При x = -2: y = (-2)^2 - 7 * (-2) = 4 + 14 = 18 Отже, точки перетину графіків мають координати (7, 0) і (-2, 18).

4) Знаходимо площу трапеції: Спочатку потрібно знайти висоту трапеції. Висота - це різниця координат y перетину вертикальної прямої й параболи: Висота h = 18 - (-49/4) = 18 + 49/4 = 42/4 + 49/4 = 91/4

Далі знаходимо довжини основ трапеції. Одна основа це відрізок між точками перетину, а друга - це відрізок між вертикальною прямою та параболою. Довжина однієї основи L1 = 7 - (-2) = 7 + 2 = 9 Довжина другої основи L2 = 7/2

Площа трапеції обчислюється за формулою S = (L1 + L2) * h / 2: S = (9 + 7/2) * (91/4) / 2 S = (18/2 + 7/2) * (91/4) / 2 S = (25/2) * (91/4) / 2 S = (25/2) * (91/8) S = 25 * 91 / 16 S = 2275 / 16 S ≈ 142.1875

Отже, площа криволінійної трапеції приблизно дорівнює 142.1875.

Б) Для знаходження об'єму тіла обертання навколо осі Ox необхідно побудувати графік функцій y = cos^2(x) та x = 0, x = 4/п і знайти площу площини, обмеженої цими кривими і осі Ox, та обчислити об'єм при обертанні площини навколо осі Ox.

1) Побудова графіка функції y = cos^2(x) для значень x з проміжку [0, 4/п]: x = 0: y = cos^2(0) = 1 x = 4/п: y = cos^2(4/п) ≈ 0.935

2) Знаходимо площу площини, обмеженої графіком функції y = cos^2(x) та осі Ox: Площа може бути обчислена за допомогою інтегралу від функції y = cos^2(x): S = ∫[0, 4/п] cos^2(x) dx Замінимо cos^2(x) на (1 + cos(2x)) / 2, використовуючи формулу подвійного кута. S = ∫[0, 4/п] (1 + cos(2x)) / 2 dx S = 1/2 ∫[0, 4/п] (1 + cos(2x)) dx S = 1/2 ( ∫[0, 4/п] dx + ∫[0, 4/п] cos(2x) dx ) S = 1/2 ( x + (sin(2x))/2 |_0^(4/п) ) S = 1/2 ( (4/п) + (sin(8/п))/2 - ((sin(0))/2) ) S = 1/2 ( 4/п + (sin(8/п))/2 ) S ≈ 1.5708 + 0.4142 S ≈ 1.9848

3) Обчислюємо об'єм тіла обертання площини навколо осі Ox за формулою об'єму циліндра V = ∫[0, 4/п] π(y)^2 dx: V = π ∫[0, 4/п] (cos^2(x))^2 dx Підставимо cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2: V = π ∫[0, 4/п] ((1 + cos(2x)) / 2)^2 dx V = π/4 ∫[0, 4/п] (1 + cos(2x))^2 dx V = π/4 ∫[0, 4/п] (1 + 2