Question

Найти производные: 1) y = (cos2x)ˣ²⁺¹ 2) arctg(x+y) = xy

Answer 1

Ответ:

1) $y'=(\cos{2x})^{x^2+1}(2x\ln{\cos{2x}}-2(x^2+1)tg2x)$

2) $y'=\dfrac{y+y(x+y)^2-1}{1-x-x(x+y)^2}$

Пошаговое объяснение:

1) Прологарифмируем обе части и возьмём от них производные:

$\ln{y}=\ln{(\cos{2x})^{x^2+1}}\\\ln{y}=(x^2+1)\ln{\cos{2x}}\\(\ln{y})'=((x^2+1)\ln{\cos{2x}})'$

Поскольку в левой части аргумент логарифма сам является функцией, то ln y — сложная функция, находится как производная логарифма, умноженная на производную самой функции, то есть y'.

$\dfrac{y'}{y}=2x\ln{\cos{2x}}-\dfrac{2(x^2+1)\sin{2x}}{\cos{2x}}\\y'=(\cos{2x})^{x^2+1}(2x\ln{\cos{2x}}-2(x^2+1)tg2x)$

2) Функция задана неявно, найдём производные от обеих частей, считая x независимой переменной, а y — функцией от x.

$arctg(x+y)'=(xy)'\\\dfrac{1+y'}{1+(x+y)^2}=y+xy'\\1+y'=(1+(x+y)^2)(y+xy')\\1+y'=y+y(x+y)^2+xy'+xy'(x+y)^2\\y'-xy'-xy'(x+y)^2=y+y(x+y)^2-1\\y'(1-x-x(x+y)^2)=y+y(x+y)^2-1\\y'=\dfrac{y+y(x+y)^2-1}{1-x-x(x+y)^2}$

Answer 2

Нахождение производных

Для нахождения производных выражений, представленных вами, мы будем использовать базовые правила дифференцирования. Давайте начнем с первого выражения:

1) y = (cos(2x))^x²⁺¹

Для нахождения производной этого выражения, воспользуемся правилом дифференцирования для функции вида f(x)^g(x).

Правило: Если у нас есть функция вида f(x)^g(x), ее производная будет равна (f(x)^g(x))' = f(x)^g(x) * (g(x) * ln(f(x)))'.

Применяя это правило к нашему выражению, получаем:

y' = (cos(2x))^x²⁺¹ * ((x²⁺¹ * ln(cos(2x)))' + ln(cos(2x)) * (x²⁺¹)')

Для нахождения производных внутренних функций, нам понадобятся дополнительные правила дифференцирования. В данном случае, производная функции cos(2x) равна -2 * sin(2x).

Теперь мы можем найти производные внутренних функций:

(x²⁺¹ * ln(cos(2x)))' = (x²⁺¹)' * ln(cos(2x)) + x²⁺¹ * (ln(cos(2x)))'

(x²⁺¹)' = 2x

(ln(cos(2x)))' = -2 * sin(2x)

Теперь мы можем подставить эти значения в исходное выражение производной:

y' = (cos(2x))^x²⁺¹ * (2x * ln(cos(2x)) + x²⁺¹ * (-2 * sin(2x)) + ln(cos(2x)) * (x²⁺¹)')

Таким образом, производная выражения y = (cos(2x))^x²⁺¹ будет равна представленному выше выражению.

Теперь давайте перейдем ко второму выражению:

2) arctg(x+y) = xy

Для нахождения производной этого выражения, мы воспользуемся правилом дифференцирования для функции arctan.

Правило: Если у нас есть функция arctan(f(x)), ее производная будет равна (arctan(f(x)))' = (f(x) / (1 + f(x)^2))'.

Применяя это правило к нашему выражению, получаем:

(arctan(x+y))' = (xy)'

Для нахождения производной xy, мы воспользуемся правилом дифференцирования для произведения двух функций.

Правило: Если у нас есть функция f(x) * g(x), ее производная будет равна (f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x).

Применяя это правило к нашему выражению, получаем:

(arctan(x+y))' = x * (y)' + (x)' * y

(y)' можно найти, используя правило диф